[论文解读] The Wasserstein distance between stationary measures associated to iterated function schemes on the unit interval

Italo Cipriano|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 36被引用 3

一句话总结

本文为单位区间上由迭代函数系统（IFS）生成的平稳测度之间的的一阶Wasserstein距离提供了显式公式和紧致近似。研究分析了k个正收缩映射、符号相反的两个收缩映射以及不同IFS配置的情形，利用Cantor阶梯函数与最优传输理论的性质，在特定权重与收缩条件下推导出闭式解。

ABSTRACT

We provide explicit formulaes for the first Kantorovich-Wasserstein distance between stationary measures for iterated function scheme on the unit interval. In particular, we consider two stationary measures with different configurations of the weights associated to the same iterated function schemes with disjoint images composed of: $k$ positive contractions or $2$ contractions of different sign. We also study the case of two stationary measures associated to different iterated function schemes.

研究动机与目标

• 推导单位区间上迭代函数系统（IFS）的平稳测度之间的一阶Wasserstein距离的显式公式。
• 通过考虑具有k ≥ 2个正收缩映射且像集不相交的IFS，扩展先前关于平稳测度间Wasserstein距离的研究。
• 在权重对称条件下，分析一个正收缩与一个负收缩的两收缩映射IFS中，平稳测度之间Wasserstein距离的行为。
• 研究不同IFS之间平稳测度的Wasserstein距离，而不仅限于同一IFS下不同权重的情形。
• 提出一种基于最优传输理论的框架，用于在分形与随机设定下估计Wasserstein距离。

提出的方法

• 采用Kantorovich-Wasserstein距离的定义，即在给定分布的随机变量耦合中，期望距离的下确界。
• 将最优传输理论应用于IFS的平稳测度，重点研究一阶Wasserstein距离（W₁）。
• 利用不变测度的递归结构与Cantor阶梯函数，刻画平稳测度的累积分布函数。
• 在特定条件下推导出显式公式：仿射收缩映射、像集不相交，且权重配置对称。
• 通过分析Cantor阶梯函数交集的几何与测度论性质，对Wasserstein距离进行上界估计。
• 利用引理3.13建立近似界，并将其应用于非仿射与非对称情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当IFS由k ≥ 2个正的、像集不相交的收缩映射构成，并采用不同的权重向量时，其平稳测度之间的一阶Wasserstein距离是否存在显式公式？
• RQ2 在权重对称条件下，一个正收缩与一个负收缩的两收缩映射IFS中，其平稳测度之间的一阶Wasserstein距离如何变化？
• RQ3 能否为具有不相交像集的两个不同IFS的平稳测度之间的Wasserstein距离推导出闭式表达式？
• RQ4 非经典Cantor阶梯函数的交集在估计Wasserstein距离中起到何种作用？
• RQ5 这些结果如何推广至具有多于两个收缩映射或非对称权重分布的IFS？

主要发现

• 当IFS由k个正的仿射收缩映射构成，像集不相交，且满足特定权重条件时，推导出$ W_1(\nu_p, \nu_q) $的显式公式。
• 对于包含一个正收缩与一个负收缩、像集不相交的两收缩映射IFS，在权重对称假设下，获得了显式公式。
• 即使在非仿射情形下，也提供了k个正收缩映射IFS中$ W_1(\nu_p, \nu_q) $的良好近似。
• 当两个不同IFS均具有不相交像集、正收缩映射并满足特定结构条件时，其平稳测度之间的Wasserstein距离可被近似。
• 该方法依赖于对Cantor阶梯函数交集的分析，这些阶梯函数具有非单调性与非光滑性，从而用于控制运输成本。
• 通过引理3.13建立了理论界，并在非整数收缩参数与非对称权重的数值例子中得到验证。