[论文解读] The weak Galerkin method for eigenvalue problems

Hehu Xie, Qilong Zhai+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文提出一种弱伽辽金（WG）有限元方法来求解拉普拉斯特征值问题，通过引入弱函数和弱导数，实现了高阶收敛。该方法对特征值提供下界逼近，收敛率超过二阶，显著优于经典非协调方法仅能达到二阶收敛的局限。

ABSTRACT

This article is devoted to computing the eigenvalue of the Laplace eigenvalue problem by the weak Galerkin (WG) finite element method with emphasis on obtaining lower bounds. The WG method is on the use of weak functions and their weak derivatives defined as distributions. Weak functions and weak derivatives can be approximated by polynomials with various degrees. Different combination of polynomial spaces leads to different WG finite element methods, which makes WG methods highly flexible and efficient in practical computation. We establish the optimal-order error estimates for the WG finite element approximation for the eigenvalue problem. Comparing with the classical nonconforming finite element method which can just provide lower bound approximation by linear elements with only the second order convergence, the WG methods can naturally provide lower bound approximation with a high order convergence (larger than $2$). Some numerical results are also presented to demonstrate the efficiency of our theoretical results.

研究动机与目标

• 开发一种弱伽辽金有限元方法，为拉普拉斯算子的特征值提供可靠的下界逼近。
• 克服经典非协调方法的局限性，后者在下界逼近中仅能达到二阶收敛。
• 建立应用于特征值问题的WG方法的最优阶误差估计。
• 通过在多边形域和L形域上的数值实验，展示该方法的高阶收敛性和鲁棒性。
• 提供一种灵活的高阶数值框架，用于在多胞形网格上使用不连续多项式逼近求解特征值问题。

提出的方法

• 该方法在有限元剖分上以分布形式定义弱函数和弱导数，从而实现在多胞形单元上的不连续逼近。
• 采用不同阶次的多项式空间来逼近弱函数和弱导数，实现高度灵活性与高阶精度。
• 引入稳定化项以强制实现弱连续性，并确保离散格式的稳定性。
• 从涉及弱梯度与弱函数内积的变分形式中推导出离散特征值问题。
• 将该方法应用于在多边形域和L形域上具有齐次狄利克雷边界条件的标准特征值问题。
• 通过不同多项式阶次（k=1,2）和网格尺寸（h=1/4至1/128）的数值方案，评估收敛性与下界行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱伽辽金方法能否实现拉普拉斯特征值的高阶收敛下界逼近？
• RQ2 在下界逼近精度方面，WG方法的收敛率与经典非协调有限元方法相比如何？
• RQ3 在拉普拉斯特征值问题背景下，WG方法对特征对的最优误差估计是什么？
• RQ4 WG方法在非凸区域（如L形区域）上是否仍保持特征值的下界性质？
• RQ5 WG方法能否在保持下界性质的同时实现高于二阶的收敛率？

主要发现

• 弱伽辽金方法对特征值逼近实现了最优阶误差估计，对于高阶多项式逼近，收敛率超过二阶。
• 当k=1（线性单元）时，该方法提供下界逼近，且收敛率为二阶，与经典非协调方法一致。
• 当k=2（二次单元）时，该方法实现的收敛率大于2，表明其精度优于线性单元。
• 在L形域上的数值结果表明，随着h减小，离散特征值λj,h单调递增，验证了下界性质。
• 计算得到的特征值从下方收敛至精确特征值，当k=2且ε=0时，λ1,h随h→0趋近于约9.6392。
• 该方法在不同网格细化和域几何（包括L形域等奇点区域）下均保持鲁棒性能。