[论文解读] The Weak Galerkin methods are rewritings of the Hybridizable Discontinuous Galerkin methods

Bernardo Cockburn|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文证明了弱伽辽金（WG）方法在数学上等价于杂交可化解析伽辽金（HDG）方法，表明WG格式只是在各种偏微分方程（PDE）中对现有HDG方法的重新参数化，包括稳态扩散方程、斯托克斯流和双调和方程。其主要贡献在于形式化证明了WG方法并非新颖方法，而是现有HDG方法的另一种表述形式。

ABSTRACT

We establish that the Weak Galerkin methods are rewritings of the hybridizable discontinuous Galerkin methods.

研究动机与目标

• 澄清文献中长期存在的关于弱伽辽金（WG）方法与杂交可化解析伽辽金（HDG）方法之间关系的混淆。
• 证明WG方法与HDG方法在本质上并无不同，而是后者的数学重写形式。
• 纠正WG文献中关于稳定化函数来源和方法新颖性的错误归属。
• 表明WG方法所声称的优势——如处理一般几何形状或稳定化技术——并非新颖，而是源于已建立的HDG理论。
• 提供对WG方法在多种PDE中与HDG方法等价的统一理解，包括二阶椭圆问题、斯托克斯流和双调和方程。

提出的方法

• 本文通过变分格式比较稳态扩散方程的WG与HDG方法的弱形式，表明在适当选择有限元空间和稳定化参数时，两者产生完全相同的离散系统。
• 通过匹配自由度建立等价性：WG方法中的内部通量、单元内解和数值迹与HDG方法中的对应量完全一致。
• 该分析扩展至斯托克斯方程和双调和方程，确认在更复杂的PDE中该等价性依然成立。
• 作者以HDG框架为统一平台重新表达WG方法，表明WG中使用的稳定化函数 τ = ρ/h_K P_M(F) 实际上由Lehrenfeld和Schöberl于2010年首次提出。
• 本文追溯了WG方法的历史发展，将其公式与HDG及混合方法进行比较，揭示当系数为常数时，WG方法本质上是混合方法的杂交化版本。
• 对WG文献进行了批判性回顾，识别出关于方法新颖性的错误主张以及对稳定化技术的错误归属。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱伽辽金方法与杂交可化解析伽辽金方法在本质上是否不同，还是数学上等价？
• RQ2 WG方法所声称的优势——如处理一般几何形状或稳定化技术——在多大程度上是真正新颖的，还是源自已有的HDG理论？
• RQ3 为何WG作者声称其方法并非HDG方法，而其底层公式却完全等价？
• RQ4 稳定化函数 τ = ρ/h_K P_M(F) 的历史起源是什么？谁最早提出该函数？
• RQ5 在不同PDE（包括双调和方程）中，WG与HDG方法的自由度和变分公式如何比较？

主要发现

• 2013年提出的WG方法在数学上等价于1994年混合有限元方法的杂交版本以及1997年扩展混合方法的杂交版本，而这两者均为HDG方法的特例。
• 2014年引入的WG方法以及2015年发表的两种WG方法，均为HDG方法的简单重参数化形式，在对应有限元空间下产生完全相同的离散系统。
• 频繁被WG论文视为创新的稳定化函数 τ = ρ/h_K P_M(F)，最早由Christoph Lehrenfeld于2010年在其硕士论文中提出，并随后被用于HDG方法，早于其在WG文献中的使用。
• WG方法具有独特处理一般几何形状能力的说法缺乏依据，因为该特性源于DG方法本身，因此HDG与WG方法均具备此能力。
• WG方法并非一种新方法，而是对HDG方法的重新命名；WG与HDG之间的区别并非方法论上的，而是记号和术语上的差异。
• 即使在系数为变系数的情况下，WG方法仍与HDG方法等价，这与WG文献中声称此类情况会破坏等价性的说法相矛盾——等价性在所有系数依赖情形下均成立。