[论文解读] The weak noise theory of the O'Connell-Yor polymer as an integrable discretisation of the nonlinear Schrodinger equation

Alexandre Krajenbrink, Pierre Le Doussal|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2023

Nonlinear Photonic Systems被引用 5

一句话总结

本文为半离散O'Connell-Yor聚合物建立了弱噪声理论，作为带有混合初末边界条件的非线性薛定谔方程的可积离散化。通过一种新颖的逆散射方法与弗雷德霍姆行列式框架，作者推导出自由能的精确大偏差率函数，并通过Lax对证明其可积性，从而与Toda链及KPZ普遍性建立联系。

ABSTRACT

We investigate and solve the weak noise theory for the semi-discrete O'Connell-Yor directed polymer. In the large deviation regime, the most probable evolution of the partition function obeys a classical non-linear system which is a non-standard discretisation of the nonlinear Schrodinger equation with mixed initial-final conditions. We show that this system is integrable and find its general solution through an inverse scattering method and a novel Fredholm determinant framework that we develop. This allows to obtain the large deviation rate function of the free energy of the polymer model from its conserved quantities and to study its convergence to the large deviations of the Kardar-Parisi-Zhang equation. Our model also degenerates to the classical Toda chain, which further substantiates the applicability of our Fredholm framework.

研究动机与目标

• 将弱噪声理论从连续系统（如KPZ方程）扩展至离散随机系统，特别是半离散O'Connell-Yor聚合物。
• 识别配分函数的大偏差路径，其受带有混合边界条件的非线性薛定谔方程的非标准离散化所支配。
• 为离散可积系统中非局部时间边界条件开发一种适应的逆散射方法。
• 利用守恒量与弗雷德霍姆行列式，推导出自由能的精确大偏差率函数。
• 在大偏差 regime 中，建立OY聚合物、Toda格点与KPZ方程之间的联系。

提出的方法

• 将O'Connell-Yor聚合物的弱噪声极限表述为动力学作用量的鞍点问题，导出一个经典非线性系统。
• 将所得系统识别为带有混合初末条件的非线性薛定谔方程的非标准格点离散化。
• 为该系统构造Lax对，通过存在谱问题及散射数据的时间演化证明其可积性。
• 引入一种新颖的弗雷德霍姆行列式框架，以在非局部边界条件下求解逆散射问题。
• 利用逆散射变换重构解，并从谱数据中计算守恒量。
• 从守恒量推导出大偏差率函数，并分析其在连续极限下收敛至KPZ方程率函数的性质。

Figure 1: Example of a configuration of the O’Connell-Yor polymer, here for $N=5$ , where independent Brownian live on each horizontal line.

实验结果

研究问题

• RQ1 弱噪声理论能否从连续系统（如KPZ方程）扩展至离散随机模型（如O'Connell-Yor聚合物）？
• RQ2 在OY聚合物的大偏差 regime 中，决定最可能路径的经典非线性系统具有何种性质？
• RQ3 如何为具有混合初末边界条件的离散非线性薛定谔型系统建立可积性？
• RQ4 O'Connell-Yor聚合物模型的自由能的大偏差率函数的精确形式是什么？
• RQ5 在大偏差极限下，OY聚合物模型如何与Toda链及KPZ方程相联系？

主要发现

• O'Connell-Yor聚合物的弱噪声极限导出一个经典非线性系统，该系统为带有混合初末条件的非线性薛定谔方程的非标准离散化。
• 该系统通过Lax对实现可积性，其通解通过一种适应非局部边界条件的逆散射方法构造。
• 开发了一种新的弗雷德霍姆行列式框架，用于从系统的守恒量计算大偏差率函数。
• 对于任意 $N$，精确推导出自由能的大偏差率函数，并在连续极限下证明其收敛至KPZ方程的率函数。
• 该模型退化为经典Toda链，证实了与已知可积系统的自洽性，并支持了弗雷德霍姆框架的广泛适用性。
• 通过逆散射数据显式重构了在大偏差条件下配分函数的解，完整描述了罕见波动的行为。

Figure 2: Derivative of the rate function, $\Psi_{N}^{\prime}(\Lambda)$ . The main branch is in blue and the second (solitonic) branch is in orange. The ordinate is also equal to $z_{N}(t=1)=e^{H}$ hence one can read off the relation between $H$ and $\Lambda$ (which is not one-to-one).