[论文解读] The weakness of the pigeonhole principle under hyperarithmetical reductions

Benoît Monin, Ludovic Patey|arXiv (Cornell University)|May 20, 2019

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文证明了在超递归归约下，2-着色的无限鸽巢原理（$\operatorname{RT}^1_2$）具有强锥体回避性，即对于任意非超递归的集合 $B$，每个集合 $A$ 都存在一个无限同色子集 $H$（在 $A$ 或其补集中），使得 $B$ 相对于 $H$ 仍保持非超递归。关键贡献是一种新颖的广义跳跃控制力迫构造，该构造还实现了 $\Delta^0_n$ 和算术归约下的强锥体回避，解决了王提出的一个关于低 $n$ 子集的问题。

ABSTRACT

The infinite pigeonhole principle for 2-partitions ($\\mathsf{RT}^1_2$) asserts the existence, for every set $A$, of an infinite subset of $A$ or of its complement. In this paper, we study the infinite pigeonhole principle from a computability-theoretic viewpoint. We prove in particular that $\\mathsf{RT}^1_2$ admits strong cone avoidance for arithmetical and hyperarithmetical reductions. We also prove the existence, for every $\\Delta^0_n$ set, of an infinite low${}_n$ subset of it or its complement. This answers a question of Wang. For this, we design a new notion of forcing which generalizes the first and second-jump control of Cholak, Jockusch and Slaman.

研究动机与目标

• 研究无限鸽巢原理 ($\mathrm{RT}^1_2$) 在各种归约下的可计算理论强度。
• 确定 $\mathrm{RT}^1_2$ 是否在 $\Delta^0_n$、算术和超递归归约下具有强锥体回避性。
• 解决王提出的问题：在 $\Delta^0_n$ 集合中是否存在低 $n$ 的无限同色子集。
• 开发一种广义跳跃控制技术的新力迫概念，推广查拉克、洛克施密特和斯拉曼的首阶与二阶跳跃控制方法。

提出的方法

• 引入一种新的力迫概念 $\mathbb{P}_{\omega_1^{\mathrm{ck}}}$，将跳跃控制推广至处理超递归归约。
• 使用大小类的层级 $\mathcal{L}_C$ 和 $\mathcal{B}_{n,\beta}$-通用性的概念，以控制通用对象的超递归复杂度。
• 通过递归构造条件，确保通用滤子 $\mathcal{F}$ 无法计算 $\omega_1^{\mathrm{ck}}$，从而保持 $\omega_1^H = \omega_1^{\mathrm{ck}}$ 对于通用 $H$。
• 应用 $\mathcal{B}_{n,\beta}$-通用性的概念，确保任何 $G$-可计算函数都无法编码 $\omega_1^{\mathrm{ck}}$，从而防止 $\omega_1^G > \omega_1^{\mathrm{ck}}$。
• 利用集合 $\{G : n \in \mathcal{O}_\alpha^G\}$ 对 $\alpha$ 和 $n$ 均为 $\Delta^1_1$ 的事实，定义可阻止超递归编码的力迫条件。
• 将力迫与 $\Delta^0_n$-通用性及 $\Sigma^1_1$-通用性的性质相结合，证明对于足够通用的滤子，有 $\omega_1^{G_\mathcal{F}} = \omega_1^{\mathrm{ck}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 $\mathrm{RT}^1_2$ 是否在 $\Delta^0_n$ 归约下具有强锥体回避性？
• RQ2 $\mathrm{RT}^1_2$ 是否在算术归约下具有强锥体回避性？
• RQ3 每个 $\Delta^{0}_{n+1}$-可计算集合 $A$ 是否都存在一个低 $n+2$ 度的无限同色子集 $H$？
• RQ4 强锥体回避能否推广至超递归归约？其是否保持 $\omega_1^H = \omega_1^{\mathrm{ck}}$？
• RQ5 是否可以构造一种广义跳跃控制的力迫概念，以处理超递归复杂度？

主要发现

• 本文证明了 $\mathrm{RT}^1_2$ 在 $\Delta^0_n$ 归约下具有强锥体回避性，即对于任意非 $\emptyset^{(n)}$-可计算的集合 $B$，存在 $A$ 或 $\overline{A}$ 的一个无限同色子集 $H$，使得 $B$ 不是 $H^{(n)}$-可计算的。
• 本文建立了算术归约下的强锥体回避性：对于任意非算术集合 $B$，存在 $A$ 或 $\overline{A}$ 的一个无限同色子集 $H$，使得 $B$ 不是关于 $H$ 的算术集合。
• 本文证明了每个 $\Delta^{0}_{n+1}$-可计算集合 $A$ 都存在一个低 $n+2$ 度的无限同色子集 $H$，从而回答了王提出的问题。
• 本文构造了一种力迫概念 $\mathbb{P}_{\omega_1^{\mathrm{ck}}}$，使得对于任意足够通用的滤子 $\mathcal{F}$，其通用对象 $G_{\mathcal{F}}$ 满足 $\omega_1^{G_{\mathcal{F}}} = \omega_1^{\mathrm{ck}}$，从而确保任何 $G_{\mathcal{F}}$-可计算函数都无法编码 $\omega_1^{\mathrm{ck}}$。
• 本文证明了对于任意非超递归集合 $B$，存在 $A$ 或 $\overline{A}$ 的一个无限同色子集 $H$，使得 $B$ 不是关于 $H$ 的超递归集合，且 $\omega_1^H = \omega_1^{\mathrm{ck}}$，从而在超递归归约下确立了强锥体回避性。
• 该力迫构造确保通用对象无法计算 $\omega_1^{\mathrm{ck}}$，因此保持了可构造层次的 $\omega_1$-序类型。