[论文解读] The weighted Forman and Lin-Lu-Yau Ricci flow on graphs

Shuliang Bai, Shuang Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2026

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 0

一句话总结

该论文在图上引入加权的 Lin-Lu-Yau 与 Forman 曲率流，证明存在性与唯一性，并在树上给出固定转移核下的收敛性分析。

ABSTRACT

In this paper, we propose a type of Ricci flow on graphs where the probability distribution for the Lin-Lu-Yau curvature remains constant over time, and also study the related Forman curvature flow. These two curvature flows coincide on trees. We first prove the existence and uniqueness of solutions for both curvature flows in general graphs. Then, we obtain that the normalized curvature flow on trees converges to a constant curvature metric, and under the uniform measure, a complete classification of trees can be obtained based on the convergence results.

研究动机与目标

• 推动在图上的离散黎曼流以理解几何演化与社区结构。
• 在固定转移核下定义两种受曲率驱动的流以避免边的删除。
• 在一般图与树上确立这些流的存在性、唯一性与收敛性结果。

提出的方法

• 使用固定转移核与边权定义带权 Lin-Lu-Yau 曲率。
• 定义带权 Forman 曲率并推导其在曲率流下的演化。
• 将黎曼流表述为边权的微分方程：d/dt ω(t,e) = -R_ω(t,e) ω(t,e)，其中 R_ω 为 κ_ω 或 F_ω。
• 通过 Picard-Lindelöf 框架与线性系统分析证明解的存在性与唯一性。
• 证明 Lin-Lu-Yau 与 Forman 曲率在树上的等价性，并利用此来分析收敛性。
• 给出矩阵形式与谱分析以研究 Forman 流的长期行为。

Figure 1: Comparison of Ricci flow convergence under two different measures on $K_{1,3}$ and $K_{1,6}$ graphs.

实验结果

研究问题

• RQ1 带权 Lin-Lu-Yau 黎曼流是否对一般图在所有 t>0 存在唯一的正解？
• RQ2 带权 Lin-Lu-Yau 与 Forman 曲率流是否收敛，如收敛条件是什么？
• RQ3 在树与一般图上，流的行为有何不同？在单位度量下是否能对树的收敛行为给出完整分类？
• RQ4 树上 Lin-Lu-Yau 与 Forman 流是否相同，在固定核设置下边的删除如何影响？
• RQ5 在固定度量下，归一化流与曲率的长期行为如何？

主要发现

• 对于初始边权为正的情形，带权 Lin-Lu-Yau 流在所有 t>0 存在唯一的正解。
• 对于初始边权为正的情形，带权 Forman 流在所有 t>0 存在唯一的正解。
• 在树上，带权 Lin-Lu-Yau 曲率收敛到常数，且归一化度量收敛到常值曲率度量。
• 在顶点与边的单位度量下，论文对 Lin-Lu-Yau 流的树收敛行为给出部分分类。
• 两种曲率流在树上一致，在一般图上 Forman 流在某些形式下化简为线性系统。
• 这些流保持边权的正性，并可通过矩阵指数表示进行分析。

Figure 2: The evolution for a tree with maximum degree of $4$ .