[论文解读] The Wellposedness of FBSDEs (II)

Jianfeng Zhang|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文在放宽条件的前提下建立了高维前向-后向随机微分方程（FBSDEs）的适定性：任意时间范围、随机系数、可能退化的前向扩散项，且无需单调性条件。在系数偏导数满足一种弱化结构条件的假设下，证明了解的存在性与唯一性，显著推广了先前结果，放宽了可微性与单调性要求，同时保持利普希茨连续性。

ABSTRACT

This paper is a continuation of \cite{zhang}, in which we established the wellposedness result and a comparison theorem for a class of one dimensional Forward-Backward SDEs. In this paper we extend the wellposedness result to high dimensional FBSDEs, and weaken the key condition in \cite{zhang} significantly. Compared to the existing methods in the literature, our result has the following features: (i) arbitrary time duration; (ii) random coefficients; (iii) (possibly) degenerate forward diffusion; and (iv) no monotonicity condition.

研究动机与目标

• 将一维FBSDEs的适定性结果推广至高维系统。
• 将先前工作（Zhang, 2005）中的关键结构条件，从可微性与严格单调性，弱化为更一般的基于导数的不等式条件。
• 为具有任意时间跨度、随机系数及可能退化的前向扩散项的FBSDEs，建立解的存在性与唯一性。
• 在FBSDEs的适定性理论中，去除对单调性条件的依赖。
• 提供一个适用于马氏FBSDE数值方法的框架，通过在最小正则性假设下确保稳定性与收敛性。

提出的方法

• 引入一个新的结构条件（1.6），涉及系数b、σ、f和g的偏导数，通过矩阵Λ³ₜ(y)与Λ⁴ₜ(y)表达，以保证适定性。
• 通过在小时间区间[Tᵢ₋₁, Tᵢ]上进行分段构造，将局部解扩展至任意时间范围的全局解。
• 基于系数的利普希茨连续性，应用稳定性论证，并迭代估计终端条件映射的利普希茨常数。
• 采用基于光滑化器的逼近技术，处理非可微系数，使得即使某些导数不存在，条件（1.6）仍可验证。
• 通过能量型不等式与格朗沃尔型论证，建立先验估计，将解范数以初始数据与系数的形式有界表示。
• 依赖从终端时间向后递归构造解映射，利用在收缩区间上求解一系列FBSDEs的方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖系数的单调性或严格可微性的情况下，建立高维FBSDEs的适定性？
• RQ2 对系数而言，何种结构条件足以保证FBSDEs在任意时间范围内的解的存在性与唯一性？
• RQ3 如何将FBSDEs的解理论推广至具有退化前向扩散项与随机系数的系统？
• RQ4 在保持适定性的同时，系数的正则性假设可被弱化到何种程度？
• RQ5 在新条件下，解映射是否对系数与初始数据的扰动表现出稳定性？

主要发现

• FBSDE（1.1）存在唯一解Θ，满足||Θ||² ≤ C I₀²，其中C依赖于利普希茨常数及条件（1.6）中的结构常数c。
• 条件（1.6）显著弱于Zhang（2005）中早期的条件（1.2），后者要求特定的导数恒等式与可微性。
• 该方法允许任意时间跨度、随机系数及退化前向扩散项，这些在早期结果中均未被允许。
• 即使某些偏导数（如∂ₓσ）不存在，只要（1.7）中的相关项仍有定义，结果依然成立。
• 稳定性结果（定理3.1）表明，系数与初始数据的微小扰动仅导致解的微小变化，确保了鲁棒性。
• 推论3.2证实了在系数与初始数据一致收敛下解的收敛性，支持了数值逼近方法。