[论文解读] The Wiener and Terminal Wiener indices of trees

Yahong Chen, Xiao‐Dong Zhang|arXiv (Cornell University)|May 27, 2013

Graph theory and applications参考文献 10被引用 9

一句话总结

本文更正了广义Bethe树的Wiener指数与终端Wiener指数的错误公式，并为Bethe树的终端Wiener指数提供了精确公式。它刻画了在阶数$n$与最大度数$\Delta$约束下，终端Wiener指数最小的树的结构，证明此类树为以度数$\Delta$为中心的星形树，其最小终端Wiener指数为$(n-1)(\Delta-1)$。

ABSTRACT

Heydari \cite{heydari2013} presented very nice formulae for the Wiener and terminal Wiener indices of generalized Bethe trees. It is pity that there are some errors for the formulae. In this paper, we correct these errors and characterize all trees with the minimum terminal Wiener index among all the trees of order $n$ and with maximum degree $Δ$.

研究动机与目标

• 更正Heydari[7]关于广义Bethe树的Wiener指数与终端Wiener指数公式中的不准确之处。
• 推导Bethe树终端Wiener指数的正确且通用的公式。
• 刻画在固定阶数$n$与最大度数$\Delta$下使终端Wiener指数最小的树的结构。
• 确立在$\mathcal{T}(n,\Delta)$中，最小终端Wiener指数为$(n-1)(\Delta-1)$，且唯一由最大度数为$\Delta$的星形树实现。

提出的方法

• 通过递归分解与分量大小分析，推导广义Bethe树Wiener指数的更正公式。
• 提出基于边贡献的树终端Wiener指数新公式：$TW(T) = \sum_{e \in T} p_1(e)p_2(e)$，其中$p_1(e), p_2(e)$为删去边$e$后两连通分量中叶顶点的数量。
• 应用更正后的公式计算Bethe树与规则树状树的终端Wiener指数。
• 使用树变换技术比较$TW(T_{a,b})$与$TW(T_{a-1,b+1})$，证明当$b > a > 1$时两者相等，当$a = 1$，$b > 1$时严格不等。
• 通过结构分析证明非星形树的终端Wiener指数严格大于其星形对应物。
• 确立在所有阶数为$n$、最大度数为$\Delta$的树中，星形树使终端Wiener指数最小。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义Bethe树的正确Wiener指数公式是什么？它与Heydari[7]的公式有何不同？
• RQ2 Bethe树的终端Wiener指数的正确表达式是什么？它如何修正[7]中的错误？
• RQ3 在$\mathcal{T}(n,\Delta)$中，哪些树实现了最小终端Wiener指数？
• RQ4 最小终端Wiener指数是否唯一由最大度数为$\Delta$的星形树实现？
• RQ5 树分枝结构的变化如何影响终端Wiener指数，特别是当重新分配叶顶点时？

主要发现

• 广义Bethe树的更正Wiener指数公式为$W(B_{k+1}) = \sum_{i=1}^{k} n_{i+1} m_i (n - m_i)$，其中$n_{i+1}$为第$i+1$层的顶点数，$m_i$为位于第$i$层顶点的子树中顶点数。
• Bethe树$B_{k,d}$的终端Wiener指数为$TW(B_{k,d}) = \frac{d^{k-1}}{d-1}[d^{k-1}(kd - k - d) + 1]$，更正了Heydari[7]的错误表达式。
• 对于规则树状树$T_{k,d}$，其终端Wiener指数为$TW(T_{k,d}) = d(d-1)^{k-1}\left[kd(d-1)^{k-1} + \frac{1 - (d-1)^k}{d-2}\right]$，由更正后的公式导出。
• 在所有阶数为$n$、最大度数为$\Delta$的树中，最小终端Wiener指数为$(n-1)(\Delta-1)$，当且仅当树为以度数$\Delta$的中心顶点构成的星形树时实现。
• 从$T_{a,b}$到$T_{a-1,b+1}$的树变换在$b > a > 1$时保持终端Wiener指数不变，但在$a = 1$，$b > 1$时严格增加，证明星形结构的最优性。
• 所有阶数为$n$、最大度数为$\Delta$的星形树具有相同的终端Wiener指数$(n-1)(\Delta-1)$，确认最小化者在同构意义下唯一。