[论文解读] The Wiener-Khinchin Theorem for Non-wide Sense stationary Random Processes

Wei Lü, Namrata Vaswani|ArXiv.org|Apr 3, 2009

Advanced Statistical Process Monitoring参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文通过证明在可积性条件下，功率谱密度（PSD）等于时间平均自相关函数的傅里叶变换，将维纳-辛钦定理推广至非宽平稳（非-WSS）随机过程。主要贡献在于使某些非-WSS信号能够进行一维谱分析和基于奈奎斯特的子采样，通过在时空非-WSS信号的时间序列上进行仿真验证。

ABSTRACT

We extend the Wiener-Khinchin theorem to non-wide sense stationary (WSS) random processes, i.e. we prove that, under certain assumptions, the power spectral density (PSD) of any random process is equal to the Fourier transform of the time-averaged autocorrelation function. We use the theorem to show that bandlimitedness of the PSD implies bandlimitedness of the generalized-PSD for a certain class of non-WSS signals. This fact allows us to apply the Nyquist criterion derived by Gardner for the generalized-PSD.

研究动机与目标

• 严格将维纳-辛钦定理推广至非宽平稳（非-WSS）随机过程。
• 建立非-WSS过程的PSD等于其时间平均自相关函数傅里叶变换的条件。
• 证明对于某一类非-WSS信号，PSD的带限性意味着广义-PSD的带限性。
• 基于PSD带宽估计，使加德纳的奈奎斯特准则可用于非-WSS信号的子采样。
• 在时间序列的时空非-WSS信号（如轮廓形变或图像序列）上验证理论，假设时间上为i.i.d.或平稳。

提出的方法

• 将PSD定义为无限时间长度下期望归一化周期图的极限。
• 在可积性条件下使用富比尼定理交换期望与积分顺序，从而推导出时间平均自相关形式。
• 引入最大绝对自相关函数 $ R_x^m(\tau) = \sup_t |R_x(t, t-\tau)| $，并假设其可积以确保收敛性。
• 证明PSD等于时间平均自相关函数的傅里叶变换，从而推广经典维纳-辛钦定理。
• 应用加德纳关于广义-PSD的结果，证明对于一类非-WSS信号，PSD的带限性意味着广义-PSD的带限性。
• 通过在时空非-WSS信号的时间序列上进行仿真，利用时间平均自相关和周期图估计验证理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 维纳-辛钦定理能否严格推广至非宽平稳过程？
• RQ2 在何种条件下，非-WSS过程的PSD等于其时间平均自相关函数的傅里叶变换？
• RQ3 对于某一类非-WSS信号，PSD的带限性是否意味着广义-PSD的带限性？
• RQ4 能否基于PSD带宽估计应用奈奎斯特采样准则于非-WSS信号？
• RQ5 能否基于PSD带宽估计对时空非-WSS信号的时间序列进行子采样？

主要发现

• 在最大绝对自相关函数可积的条件下，非-WSS过程的PSD等于其时间平均自相关函数的傅里叶变换。
• 对于NS1类信号，PSD的带限性意味着广义-PSD的带限性，从而可应用加德纳的奈奎斯特准则。
• 对时间上i.i.d.或平稳的时空信号进行的仿真验证了理论结果：随着信号长度增加，时间平均自相关函数的傅里叶变换与PSD估计趋于一致。
• 基于N=500的PSD计算90%带宽并以两倍频率子采样，均方重建误差为8.05%，随着N→∞趋近于10%。
• 该方法可通过子采样实现高效降维，适用于分段平稳信号中的边界检测或分类任务。
• 该方法在i.i.d.和时间平稳的时空信号时间序列（如轮廓形变或图像序列）上均得到验证。