[论文解读] The wild McKay correspondence and $p$-adic measures

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文通过 $p$-adic 测度建立了一种点计数版本的野生 McKay 对应关系，证明了商簇 $X = V/G$ 的弦理论点计数等于 $G$-簇 $V$ 的 $G$-弦理论点计数。该结果通过将动机不变量实现为 $p$-adic 体积，为局部域上的 Serre 和 Bhargava 的质量公式提供了新的、初等的证明。

ABSTRACT

We prove a version of the wild McKay correspondence by using $p$-adic measures. This result provides new proofs of mass formulas for extensions of a local field by Serre, Bhargava and Kedlaya.

研究动机与目标

• 通过 $p$-adic 测度而非动机积分，将 McKay 对应关系推广到正特征或混合特征（野生情形）。
• 在有限剩余域的完备离散赋值环上的 $G$-簇上，实现弦理论不变量的点计数版本。
• 通过避免猜想性的模空间，为局部域扩张的质量公式提供更简单、更初等的证明。
• 通过 $p$-adic 体积计数，将弦理论 $E$-函数和轨道丛 $E$-函数推广到野生情形。

提出的方法

• 将弦理论点计数 $\sharp_{\mathrm{st}}(X,D)$ 定义为 $X(\mathcal{O}_K)$ 关于一个自然测度的 $p$-adic 体积。
• 将 $G$-弦理论点计数 $\sharp_{\mathrm{st}}^G(V,E)$ 定义为对 $G$-可分 $K$-代数 $M$ 的加权和，其中权重 $\sharp_{\mathrm{st}}^M(V,E)$ 由 $G$-等变 $\mathcal{O}_K$-态射 $\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_M \to V$ 的 $p$-adic 体积给出。
• 使用 $p$-adic 测度技术，证明当 $X = V/G$ 且 $(V,E) \to (X,D)$ 为一个共形态射时，有 $\sharp_{\mathrm{st}}(X,D) = \sharp_{\mathrm{st}}^G(V,E)$。
• 利用分解式 $\sharp_{\mathrm{st}}(X,D) = \sum_{x \in X(k)} \sharp_{\mathrm{st}}(X,D)_x$ 和 $\sharp_{\mathrm{st}}^G(V,E) = \sum_M \sharp_{\mathrm{st}}^M(V,E)$，将局部贡献与群作用联系起来。
• 利用已知的 Hilbert 模式点计数和分层结构，计算对称群作用下 $\sharp_{\mathrm{st}}(V/S_n)$ 的值。
• 通过等式关系重新证明 Bhargava 和 Serre 的质量公式，将 $p$-adic 体积计算与已知的分拆函数及判别式指数匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 $p$-adic 测度而非动机积分，在正特征或混合特征下建立野生 McKay 对应关系？
• RQ2 对于有限群 $G$ 作用在正常准射影 $\mathcal{O}_K$-簇上的情形，商簇 $V/G$ 的弦理论点计数是否等于 $V$ 的 $G$-弦理论点计数？
• RQ3 该对应关系能否用于重新推导已知的局部域质量公式，如 Serre 和 Bhargava 的公式？
• RQ4 $p$-adic 测度在 $\mathcal{O}_K$-点上的作用与动机不变量（如野生情形下的弦理论 $E$-函数）之间有何关系？
• RQ5 $G$-可分代数在将弦理论不变量实现为加权点计数中起什么作用？

主要发现

• 主要结果 $\sharp_{\mathrm{st}}(X,D) = \sharp_{\mathrm{st}}^G(V,E)$ 对于具有 $G$-不变除子 $E$ 的 $G$-簇 $V$ 成立，其中 $X = V/G$，且 $D$ 为使映射共形的推出除子。
• 当 $V = \mathbb{A}_{\mathcal{O}_K}^n$ 且 $G$ 作用为线性作用、$E = 0$ 时，$M$-弦理论点计数为 $\sharp_{\mathrm{st}}^M V = \frac{q^{n - \mathbf{v}_V(M)}}{\sharp \mathrm{Aut}^G(M/K)}$，其中 $\mathbf{v}_V(M)$ 是编码 $G$-作用的函数。
• 第 $n$ 个对称积 $\mathrm{Hilb}^n(\mathbb{A}_{\mathcal{O}_K}^2)$ 的弦理论点计数等于 $\sum_{i=0}^{n-1} P(n,n-i) q^{2n - i}$，通过 Hilbert 模式点计数计算得出。
• $\sharp_{\mathrm{st}}^G V = \sharp_{\mathrm{st}}(V/G)$ 的等式蕴含 Bhargava 的质量公式：$\sum_{M \in S_n\text{-}\acute{\mathrm{E}}t(K)} \frac{q^{-\mathbf{v}_V(M)}}{\sharp C_{S_n}(H)} = \sum_{i=0}^{n-1} P(n,n-i) q^{-i}$。
• Serre 的质量公式可通过反向使用指数公式从 Bhargava 的公式推出，表明该框架内部的一致性。
• 该方法避免了先前动机方法中使用的猜想性模空间，为野生 McKay 对应关系中的关键结果提供了更短、更初等的证明。