[论文解读] The Wilson function transform

Wolter Groenevelt|ArXiv.org|Jun 30, 2003

Mathematical functions and polynomials参考文献 15被引用 13

一句话总结

本文引入了两种酉积分变换——第一类和第二类威尔逊函数变换，其核为一个非常超几何的 ${}_{7}F_{6}$-函数，称为威尔逊函数。主要贡献在于，这两种变换在参数对合下均具有自对偶性，且第一类变换将威尔逊多项式映射为其对偶形式，从而在 $q \to 1$ 极限下建立了正交多项式与特殊函数的广义傅里叶变换框架。

ABSTRACT

Two unitary integral transforms with a very-well poised $_7F_6$-function as a kernel are given. For both integral transforms the inverse is the same as the original transform after an involution on the parameters. The $_7F_6$-function involved can be considered as a non-polynomial extension of the Wilson polynomial, and is therefore called a Wilson function. The two integral transforms are called a Wilson function transform of type I and type II. Furthermore, a few explicit transformations of hypergeometric functions are calculated, and it is shown that the Wilson function transform of type I maps a basis of orthogonal polynomials onto a similar basis of polynomials.

研究动机与目标

• 定义并构造两种酉积分变换——第一类与第二类，以威尔逊函数作为核。
• 建立两种变换在参数上的对合下均为自对偶，且其逆变换与原始变换在对偶参数下相同。
• 证明第一类威尔逊函数变换将威尔逊多项式的一个正交基映射到具有对偶参数的同一基，保持正交性与范数。
• 为威尔逊函数提供谱理论解释，即其为威尔逊差分算子的非多项式本征函数。
• 将威尔逊函数与 Askey-Wilson 及 Ruijsenaars 函数的极限情形联系起来，将其定位为 $q$-超几何特殊函数在 $q=1$ 极限下的连续极限。

提出的方法

• 威尔逊函数被定义为威尔逊二阶差分方程的非多项式解，由一个非常超几何的 ${}_{7}F_{6}$-超几何级数导出。
• 通过威尔逊函数的渐近行为构造一个希尔伯特空间 $\mathcal{M}$，以证明截断内积近似为再生核，从而导出第一类威尔逊函数变换。
• 定义另一个希尔伯特空间 $\mathcal{H}$，其测度结构不同，包含一个无限离散分量，用于定义第二类威尔逊函数变换。
• 通过证明变换核的内积在极限下近似为再生核，从而证明变换的酉性。
• 通过证明使用对偶参数的变换可逆原变换，建立对偶性性质，且参数对合交换几何参数与谱参数。
• 利用显式积分表示与渐近分析，计算威尔逊多项式与雅可比函数的变换，确认其映射行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用威尔逊差分算子的非多项式本征函数来定义酉积分变换？
• RQ2 威尔逊函数变换在参数对合下的自对偶结构是什么？其与逆变换有何关系？
• RQ3 第一类威尔逊函数变换如何映射正交多项式基？该变换下威尔逊多项式的作用像什么？
• RQ4 威尔逊函数与 Askey-Wilson 函数在 $q \to 1$ 极限下的关系是什么？
• RQ5 威尔逊函数能否被解释为李群或量子群的球函数，类似于 Askey-Wilson 函数？

主要发现

• 第一类威尔逊函数变换将威尔逊多项式 $R_n(x; a,b,c,1-d)$ 映射为 $(-1)^n \frac{(b+c)_n}{(1+a-d)_n} \tilde{R}_n(\lambda)$，其中 $\tilde{R}_n$ 为具有对偶参数的威尔逊多项式。
• 第一类威尔逊函数变换的逆变换与使用对偶参数的原始变换相同，从而在参数对合下确立了自对偶结构。
• 第二类威尔逊函数变换将威尔逊多项式映射为对偶多项式的缩放版本，外加一个涉及三角函数伽马函数的因子：$\frac{\sin\pi(\tilde{t} \pm i\lambda)}{\sqrt{\sin\pi(a+t)\sin\pi(b+t)\sin\pi(c+t)\sin\pi(1-d+t)}}$。
• 第一类变换是关于测度的广义傅里叶变换，该测度包含 $[0,\infty)$ 上的绝对连续部分以及有限个离散质量点。
• 第二类变换是关于一参数测度族的广义傅里叶变换，每种测度均包含绝对连续部分与无限多个离散质量点。
• 证明了威尔逊函数是 Askey-Wilson 函数在 $q \to 1$ 时的正式极限，同时也是 Ruijsenaars 的 $R$-函数在 $|q|=1$ 时的极限，确立了其在 $q$-特殊函数连续极限中的作用。