[论文解读] The Witten genus and vertex algebras

Pokman Cheung|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文构建了一个微分分次共形顶点代数层，为复流形上的 chiral 微分算子提供了一个精细解析，实现了 Witten 刻画作为上同调的特征。关键结果表明，Witten 刻画作为该解析上同调的分次特征，将其实现从第一与第二陈类为零的流形推广至更广泛的弦流形类，通过曲率形式的障碍理论条件实现。

ABSTRACT

This article is the first report of an ongoing project aimed at finding a geometric interpretation of the Witten genus and other tmf classes. Section 2 reviews the sheaves of chiral differential operators (CDOs) over a complex manifold, including their construction, obstructions and relation with the Witten genus. In section 3, the structure of each sheaf of CDOs is reorganized in terms of modules over the sheaf of holomorphic functions. This invokes the notion of a differential graded vertex algebroid. The construction of sheaves of CDOs is due to Gorbounov, Malikov and Schechtman, and so is the notion of a vertex algebroid; the differential graded version is first introduced here. Section 4 contains the main result, namely the construction of a sheaf of differential graded conformal vertex algebras that provides a fine resolution of a sheaf of CDOs. This `infinite dimensional Dolbeault complex' plays a role for the Witten genus similar to that of the Dolbeault complex for the Todd genus.

研究动机与目标

• 为 Witten 刻画提供超越 c1=c2=0 流形的几何解释，将其定义推广至弦流形。
• 构建复流形上 chiral 微分算子的微分分次共形顶点代数层，以实现解析。
• 通过一个类比于 Todd 刻画所用 Dolbeault 复形的角色的解析，建立 Witten 刻画的上同调表征。
• 以微分形式与曲率联络的形式阐明 ch1 与 ch2 的消失作为拓扑障碍。
• 通过顶点代数结构，统一 Witten 刻画的物理起源与 tmf 及 σ-定向。

提出的方法

• 在复流形 M 上，利用局部顶点代数结构与胶合数据 ξ，构造 chiral 微分算子层 D^ch_{M,ξ}，要求 c1(M)=c2(M)=0（有理数意义下）。
• 引入微分分次（dg）顶点代数丛的概念，以形式化 D^ch_{M,ξ} 作为 O_M-模的代数结构。
• 通过一个全局满足 dH = -Tr(R∧R) 的 (3,0)+(2,1) 形式 H，构建解析复形 E^{ch,•}_{M,H}，从而实现全局共形结构。
• 在解析复形的上同调中定义一个全局共形向量场 ν，确保其与 Virasoro 代数相容且中心荷为 2d。
• 使用类 Dolbeault 的微分 ∂^ch 计算解析复形的上同调，其继承了共形顶点超代数结构。
• 推导出上同调的特征为 W(M)/η(q)^{2d}，表明 Witten 刻画作为上同调的分次迹出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过顶点代数在经典设定（c1=c2=0）之外，几何化解释 Witten 刻画？
• RQ2 复流形上 chiral 微分算子的代数结构为何？如何通过微分分次方法实现其全局化？
• RQ3 解析复形上存在全局共形结构的必要与充分拓扑条件为何？
• RQ4 解析复形 E^{ch,•}_{M,H} 如何作为 tmf 与 σ-定向的几何模型？
• RQ5 曲率形式 Tr(R) 与 Tr(R∧R) 在通过上同调不变量将 Witten 刻画实现为模形式的过程中起何作用？

主要发现

• Witten 刻画 W(M) 作为微分分次共形顶点代数层的上同调特征出现，具体为 H^*(Γ(E^{ch,•}_{M,H}), ∂^ch)，仅相差 η(q)^{-2d} 因子。
• 解析复形 E^{ch,•}_{M,H} 的构造要求存在一个满足 dH = -Tr(R∧R) 的全局 (3,0)+(2,1) 形式 H，这在拓扑上等价于 ch2(M)=0。
• 当且仅当存在一个满足 dA = Tr(R) 的全局 (1,0) 形式 A 时，全局共形结构存在，这等价于 ch1(M)=0。
• 解析复形的上同调同构于一个特征为 W(M)/η(q)^{2d} 的共形顶点超代数，从而实现了 Witten 刻画的几何实现。
• ξ 与共形结构存在的障碍类分别由 Tr(R) 与 Tr(R∧R) 表示，当且仅当 M 为弦流形时它们消失。
• 通过编码 tmf-定向的顶点代数方法，该结果将 Witten 刻画的几何解释推广至所有弦流形，而不仅限于 c1 与 c2 为零的流形。