[论文解读] The Witten Index for One-dimensional Non-unitary Quantum Walks with Gapless Time-evolution

Keisuke Asahara, Daiju Funakawa+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2020

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一句话总结

本论文将此前仅适用于幺正、基本具有能隙的量子行走的Witten指标理论，推广至非幺正、无能隙的一维量子行走。通过构造具有渐近常数参数的非幺正时间演化算符 𝑈mko，作者在本质谱包含 ±1 的情况下，仍能定义出良定的弗雷德霍姆指标，证明了在无能隙区域中Witten指标仍可非零。其核心贡献是针对广义非幺正量子行走模型，完成了指标与本质谱的完整分类。

ABSTRACT

Recent developments in the index theory of discrete-time quantum walks allow us to assign a certain well-defined supersymmetric index to a pair of a unitary time-evolution $U$ and a $\mathbb{Z}_2$-grading operator $\varGamma$ satisfying the chiral symmetry condition $U^* = \varGamma U \varGamma.$ In this paper, this index theory will be extended to encompass non-unitary $U$. The existing literature for unitary $U$ makes use of the indispensable assumption that $U$ is essentially gapped; that is, we require that the essential spectrum of $U$ contains neither $-1$ nor $+1$ to define the associated index. It turns out that this assumption is no longer necessary, if the given time-evolution $U$ is non-unitary. As a concrete example, we shall consider a well-known non-unitary quantum walk model on the one-dimensional integer lattice, introduced by Mochizuki-Kim-Obuse.

研究动机与目标

• 将Witten指标理论从幺正、基本具有能隙的量子行走推广至非幺正、无能隙系统。
• 在 ℓ²(ℤ, ℂ²) 上构造一个具有渐近常数参数的非幺正时间演化算符 𝑈mko。
• 即使 𝑈 不是基本幺正或基本无能隙，仍能定义并计算 chiral 对 (Γ, 𝑈) 的Witten指标。
• 根据渐近参数，对 𝑈mko 的本质谱 𝜎ess(𝑈mko) 及其关联指标 ind(Γmko, 𝑈mko) 进行分类。
• 证明即使系统是基本无能隙的，Witten指标仍可非零，从而挑战了指标理论中既有的假设。

提出的方法

• 在 ℓ²(ℤ, ℂ²) 上定义非幺正时间演化算符 𝑈mko = 𝑆𝐺Φ𝐶2𝑆𝐺⁻¹Φ𝐶1，使用移位、增益、相位与旋转算符。
• 引入 𝑍₂-分次算符 Γmko = (σ₂𝐶₁𝑆σ₂)Γ₂(σ₂𝐶₁𝑆σ₂)*，以确保规范对称性 𝑈* = Γ𝑈Γ。
• 应用谱论与Weyl准则分析本质谱 𝜎ess(𝑈mko)，证明其位于 𝕋 ∪ ℝ 内。
• 根据 𝜃₁(±∞), 𝜃₂(±∞), 和 𝛾(±∞) 的渐近值，将 𝜎ess(𝑈mko) 分为六种情形，临界阈值为 𝛾±(★)。
• 利用抽象形式的体-边界对应关系，将Witten指标与拓扑不变量关联。
• 通过例7的显式构造，证明当 𝑈 为基本无能隙时，Witten指标仍为良定且非零。

实验结果

研究问题

• RQ1 非幺正且基本无能隙的量子行走是否仍可定义Witten指标？
• RQ2 非幺正量子行走的本质谱如何依赖于渐近参数？
• RQ3 Witten指标与非幺正、无能隙系统中的拓扑保护之间有何关系？
• RQ4 规范对称性与指标理论能否推广至非幺正、无能隙的设定之外？
• RQ5 在缺乏谱能隙的情况下，Witten指标在非幺正、非紧扰动下是否仍稳定？

主要发现

• 即使 𝑈mko 是基本无能隙的（即 ±1 ∈ 𝜎ess(𝑈mko)），Witten指标 ind(Γmko, 𝑈mko) 仍为良定且可非零。
• 本质谱 𝜎ess(𝑈mko) 是单位圆 𝕋 与实直线 ℝ 的子集，且完全由渐近值 𝜃₁(±∞), 𝜃₂(±∞), 和 𝛾(±∞) 决定。
• 𝜎ess(𝑈mko) 根据 −sin𝜃₁(★)sin𝜃₂(★) 的符号及 |𝛾(★)| 相对于临界阈值 𝛾±(★) 的大小，分为六种不同情形，其中情形II尤为重要，因其包含 ±1。
• 模型 𝑈mko 可推广为任意非零整数 𝑚 的 𝑚 步规范量子行走 (Γₘ, 𝑈ₘ)，统一了多种一维幺正量子行走模型。
• Witten指标即使在缺乏谱能隙时仍为拓扑不变量，挑战了以往指标理论中对本质能隙条件的必要性假设。
• 例7显式构造了一个 𝑈mko 为基本无能隙但 ind(Γmko, 𝑈mko) ≠ 0 的情形，证明该指标可在非幺正无能隙系统中探测到拓扑序。