[论文解读] The Yamabe equation on manifolds of bounded geometry

Nadine Große|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2009

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文通过使用加权Sobolev嵌入，在共形Laplacian的$L^2$谱下确界为正且无穷远处的Yamabe不变量超过标准Yamabe不变量的条件下，证明了在有界几何的非紧流形上Yamabe方程存在光滑正解。关键结果是在非紧情形下也存在具有常数标量曲率的共形度量。

ABSTRACT

We study the Yamabe problem on open manifolds of bounded geometry and show that under suitable assumptions there exist Yamabe metrics, i.e. conformal metrics of constant scalar curvature. For that, we use weighted Sobolev embeddings.

研究动机与目标

• 通过建立Yamabe方程解的存在性，解决有界几何流形上的非紧Yamabe问题。
• 将先前需要正标量曲率的结论推广为仅假设共形Laplacian的$L^2$谱被正数下确界控制。
• 引入并利用加权Sobolev嵌入，以克服非紧情形下缺乏紧致性的问题。
• 定义并分析无穷远处的Yamabe不变量，该不变量在存在性准则中起关键作用。
• 证明Yamabe泛函的Euler-Lagrange方程在$ H_1^2 \cap L^\infty $中有光滑、正且有界的解。

提出的方法

• 作者采用加权次临界Yamabe问题，将$ Q_p^\alpha $定义为在$ \rho^\alpha L^p $范数归一化函数上能量泛函的下确界，其中$ \rho = e^{-r} $为径向可允许权重。
• 应用加权Sobolev嵌入以确保嵌入$ H_1^2 \hookrightarrow \rho^\alpha L^p $的紧致性（当$ \alpha > 0 $时），这对极小化序列的收敛至关重要。
• 证明依赖于存在一个径向函数$ r $，满足$ |r(x) - \mathrm{dist}(x,z)| < \xi $，从而保证在有界几何流形上$ \rho = e^{-r} $为行为良好的权重。
• 基于内部$L^p$-估计和Schauder估计的Bootstrap论证，用于证明解在$ p < p_{\text{crit}} $时连续且在无穷远处衰减。
• 在临界情形$ p = p_{\text{crit}} $时，利用$ v \in L^\infty $的假设，通过$ H_2^q $-范数的统一有界性，将衰减和正则性结果外推。
• 论证通过反证法完成：假设存在一列点，其正值一致有界，将与由Hölder连续性导出的衰减估计矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界几何的非紧流形上，Yamabe方程在何种条件下存在正解？
• RQ2 在非紧情形下，是否可以在不假设正标量曲率的条件下，保证存在具有常数标量曲率的共形度量？
• RQ3 如何利用加权Sobolev嵌入在非紧流形上的Yamabe问题变分法中恢复紧致性？
• RQ4 无穷远处的Yamabe不变量在解的存在性中起什么作用？
• RQ5 谱条件$ \mu(M,g) > 0 $是否可以替代非紧Yamabe问题中对正标量曲率的假设？

主要发现

• 在$ \mu(M,g) > 0 $且$ \overline{Q}(M,g) > Q(M,g) $的条件下，Euler-Lagrange方程$ Lv = Q(M) v^{p_{\text{crit}}-1} $存在光滑正解$ v \in H_1^2 \cap L^\infty $，且满足$ \|v\|_{p_{\text{crit}}}=1 $。
• 条件$ \mu(M,g) > 0 $蕴含$ Q(M,g) > 0 $，确保Yamabe泛函远离零。
• 加权Sobolev嵌入$ H_1^2 \hookrightarrow \rho^\alpha L^p $在$ \alpha \geq 0 $时连续，在$ \alpha > 0 $时紧致，这对变分方法至关重要。
• 次临界问题的解在无穷远处衰减：$ \lim_{|x|\to\infty} v(x) = 0 $，且在临界情形下，若满足$ L^\infty $-有界性，该衰减性质得以保持。
• 通过使用加权范数实现紧致性，避免了使用穷竭技术，为依赖紧致穷竭的方法提供了替代方案。
• 对于具有均匀正标量曲率的几乎齐次流形，可省略假设$ \overline{Q}(M,g) > Q(M,g) $，从而简化存在性准则。