[论文解读] The Yamabe problem on Dirichlet spaces

Kazuo Akutagawa, Gilles Carron+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文通过在广义能量泛函中以势能项替代标量曲率，将Yamabe问题推广至Dirichlet空间。建立了广义Aubin不等式，并在Yamabe不变量严格小于局部不变量时证明了极小化器的存在性，从而将可解性扩展至奇异及次黎曼几何情形，如具有Heisenberg群模型的接触流形。

ABSTRACT

We continue our previous work studying critical exponent semilinear elliptic (and subelliptic) problems which generalize the classical Yamabe problem. In [3] the focus was on metric-measure spaces with an `almost smooth' structure, with stratified spaces furnishing the key examples. The criterion for solvability there is phrased in terms of a strict inequality of the global Yamabe invariant with a `local Yamabe invariant', which captures information about the local singular structure. All of this is generalized here to the setting of Dirichlet spaces which admit a Sobolev inequality and satisfy a few other mild hypotheses. Applications include a new approach to the nonspherical part of the CR Yamabe problem.

研究动机与目标

• 将Yamabe问题推广至配备Dirichlet型形式与势能项的Dirichlet空间，广义化标量曲率的作用。
• 在此更广泛设定下定义广义Yamabe不变量与局部Yamabe不变量，类比于光滑情形。
• 建立广义Aubin不等式，表明全局Yamabe不变量受局部不变量上界控制。
• 在严格不等式条件 $ Y(M) < Y_{\ell}(M) $ 下，证明广义Yamabe能量极小化器的存在性。
• 建立广义Yamabe方程解的有界性、一致正性及H"{o}lder连续性。

提出的方法

• 利用Dirichlet型形式 $ \mathcal{E} $、势能 $ V $ 与测度 $ \mu $ 定义广义Yamabe能量泛函，替代经典问题中的标量曲率。
• 将全局Yamabe不变量 $ Y(V) $ 定义为在度量与势能的共形变化下广义能量的下确界。
• 将局部Yamabe不变量 $ Y_{\ell}(M) $ 定义为在切锥或模型空间（如Heisenberg群）上Yamabe不变量的下确界。
• 证明广义Aubin不等式：$ Y(V) \leq Y_{\ell}(M) $，将经典不等式推广至奇异与非光滑情形。
• 运用变分法与Sobolev型不等式，在 $ Y(V) < Y_{\ell}(M) $ 时建立极小化器的存在性。
• 应用Hypoelliptic正则性理论，证明Yamabe方程的解即使在次黎曼情形下也光滑且有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 Yamabe问题能否推广至以势能项替代标量曲率的Dirichlet空间？
• RQ2 在此设定下，广义Aubin不等式是否成立，即全局Yamabe不变量是否受局部不变量控制？
• RQ3 广义Yamabe能量在何种条件下存在极小化器？
• RQ4 广义Yamabe方程的解具有何种正则性性质？
• RQ5 这些结果如何应用于具有Heisenberg群模型的次黎曼结构，如接触流形？

主要发现

• 对于含势能项的Dirichlet空间，广义Aubin不等式 $ Y(M, \mu, \mathcal{E}, V) \leq Y_{\ell}(M, \mu, \mathcal{E}, V) $ 成立。
• 当 $ Y(M, \mu, \mathcal{E}, V) < Y_{\ell}(M, \mu, \mathcal{E}, V) $ 时，广义Yamabe能量达到最小值，确保极小化器的存在性。
• 即使在奇异或次黎曼几何情形下，广义Yamabe方程的解仍为有界且一致正。
• 解具有H"{o}lder连续性；在接触黎曼流形情形下，由于次Laplacian的hypoelliptic正则性，解为光滑。
• 结果适用于接触黎曼Yamabe问题，证明在严格不等式条件下存在具有常数Tanaka-Webster标量曲率的接触度量。
• Heisenberg群作为局部不变量的模型空间，满足 $ Y(\mathfrak{h}_m, [\theta_0, g_0]) > 0 $，且局部不变量在度量的小扰动下保持稳定。