[论文解读] The Yamabe problem on stratified spaces

Kazuo Akutagawa, Gilles Carron+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文为具有控制奇点的黎曼奇异空间引入了局部Yamabe与Sobolev不变量，证明了当全局Yamabe不变量严格小于局部不变量时，Yamabe泛函存在正极小化子。该结果将经典Yamabe问题推广至具有迭代边度量的分层伪流形，建立了解的精确正则性，并拓展了关于孤立锥形奇点的先前工作。

ABSTRACT

We introduce new invariants of a Riemannian singular space, the local Yamabe and Sobolev constants, and then go on to prove a general version of the Yamabe theorem under that the global Yamabe invariant of the space is strictly less than one or the other of these local invariants. This rests on a small number of structural assumptions about the space and of the behavior of the scalar curvature function on its smooth locus. The second half of this paper shows how this result applies in the category of smoothly stratified pseudomanifolds, and we also prove sharp regularity for the solutions on these spaces. This sharpens and generalizes the results of Akutagawa and Botvinnik \cite{AB} on the Yamabe problem on spaces with isolated conic singularities.

研究动机与目标

• 将经典Yamabe问题推广至具有受控奇点的紧致黎曼奇异空间，特别是具有迭代边度量的光滑分层伪流形。
• 定义新的不变量——局部Yamabe与Sobolev常数，以捕捉Yamabe泛函在奇点附近的行为的渐近特性。
• 在全局Yamabe不变量与局部不变量比较的条件下，建立Yamabe泛函严格正极小化子的存在性。
• 证明极小化子的精确正则性，表明其为共法且在奇点层附近以受控速率衰减。
• 通过引入更一般的分层结构和更弱的曲率假设，推广先前关于孤立锥形奇点的结果。

提出的方法

• 将局部Yamabe不变量 $ Y_{\ell}(M,[g]) $ 定义为在每一点附近小球上的Yamabe不变量的下确界，捕捉当球半径趋于零时的渐近行为。
• 引入局部Sobolev不变量 $ S_{\ell}(M,g) $，其在存在性准则中的作用与局部Yamabe不变量类似。
• 利用共形不变性，将光滑点处的局部Yamabe不变量与单位球面的Yamabe不变量关联，将锥形奇点处的局部Yamabe不变量与 $ \mathbb{R} \times Z $ 上的柱面Yamabe不变量关联。
• 在双倍空间 $ N^2_{\text{ice}} $ 上应用参数构造法，该空间通过在角点 $ \{x=\tilde{x}=0\} $ 处对纤维对角线进行爆破得到，以构造共形拉普拉斯算子的参数。
• 通过在切向变量上使用傅里叶变换并进行缩放，分析共形拉普拉斯算子的法向算子，将其约化为在 $ \mathbb{R}^+ \times Z $ 上具有离散谱的算子。
• 利用法向算子的逆在切向变量上与平移可交换的事实，证明交换子 $ [\partial_y, G] $ 具有与 $ G $ 相同的映射性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有分层结构的奇异黎曼空间上，Yamabe泛函在何种条件下存在正极小化子？
• RQ2 在缺乏整体光滑性的情况下，如何将经典Yamabe不变量推广以反映局部奇点行为？
• RQ3 在具有迭代边度量的分层伪流形上，Yamabe泛函极小化子的精确正则性类是什么？
• RQ4 局部Yamabe与Sobolev不变量与全局Yamabe不变量相比，在决定解的存在性方面起到何种作用？
• RQ5 在多大程度上可证明Yamabe方程的解为共法且在奇点层附近以受控速率衰减？

主要发现

• 当且仅当全局Yamabe不变量 $ Y(M,[g]) $ 严格小于局部Yamabe不变量 $ Y_{\ell}(M,[g]) $ 时，Yamabe泛函存在正极小化子。
• 在所述条件下，极小化子 $ u $ 在整个空间 $ M $ 上严格为正，且所有切向导数均具有精确衰减速率。
• 解 $ u $ 为共法且其衰减速率与迭代边结构一致，该结论通过参数构造法与交换子分析得以证明。
• 共形拉普拉斯算子的法向算子在 $ x^\nu \mathcal{C}^{k,\gamma}_{\text{ice}} $ 上可逆，其依据为 $ -\mathcal{L}_{k(0)}^n $ 的离散谱。
• 法向算子的逆通过傅里叶变换与缩放表示，得到显式积分核形式 $ \int_{\mathbb{R}^\ell} e^{i(y-\tilde{y})\eta} G_0(x|\eta|, \tilde{x}|\eta|, z, \tilde{z}) |\eta|^q d\eta $。
• 由于法向算子的逆在 $ y $-变量上具有平移不变性，交换子 $ [\partial_y, G] $ 继承了与 $ G $ 相同的映射性质。