[论文解读] The Z_4-Linearity of Kerdock, Preparata, Goethals and Related Codes

A. Roger Hammons, Pratyush Kumar+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2002

Coding theory and cryptography参考文献 43被引用 82

一句话总结

本文证明了Kerdock、Preparata、Goethals与Nordstrom-Robinson码——此前已知为强大的非线性二元码——可作为ℤ₄上线性码在Gray映射下的二元像被构造出来。关键贡献在于表明这些码在ℤ₄下为线性码，且Kerdock码与Preparata码在ℤ₄下互为对偶，这解释了其在重量分布上的形式对偶性，并可通过ℤ₄结构实现高效的代数译码。

ABSTRACT

Certain notorious nonlinear binary codes contain more codewords than any known linear code. These include the codes constructed by Nordstrom-Robinson, Kerdock, Preparata, Goethals, and Delsarte-Goethals. It is shown here that all these codes can be very simply constructed as binary images under the Gray map of linear codes over Z_4, the integers mod 4 (although this requires a slight modification of the Preparata and Goethals codes). The construction implies that all these binary codes are distance invariant. Duality in the Z_4 domain implies that the binary images have dual weight distributions. The Kerdock and "Preparata" codes are duals over Z_4 -- and the Nordstrom-Robinson code is self-dual -- which explains why their weight distributions are dual to each other. The Kerdock and "Preparata" codes are Z_4-analogues of first-order Reed-Muller and extended Hamming codes, respectively. All these codes are extended cyclic codes over Z_4, which greatly simplifies encoding and decoding. An algebraic hard-decision decoding algorithm is given for the "Preparata" code and a Hadamard-transform soft-decision decoding algorithm for the Kerdock code. Binary first- and second-order Reed-Muller codes are also linear over Z_4, but extended Hamming codes of length n >= 32 and the Golay code are not. Using Z_4-linearity, a new family of distance regular graphs are constructed on the cosets of the "Preparata" code.

研究动机与目标

• 解决长期以来关于Kerdock码与Preparata码是否在代数意义上互为对偶的疑问。
• 通过ℤ₄上的线性码，为若干著名的非线性二元码提供统一的代数构造方法。
• 通过表明这些码在ℤ₄上为扩展循环码，简化编码与译码过程。
• 确立这些码的重量分布之所以对偶，是由于在ℤ₄域中的对偶性。
• 利用Preparata码的陪集结构，构造新的距离正则图。

提出的方法

• 将Preparata码的一个修改版本定义为ℤ₄上的线性码，其与扩展汉明码的标准子码不同。
• 使用Gray映射将ℤ₄上的线性码转换为具有等价重量分布的二元非线性码。
• 证明Kerdock码与Preparata码在ℤ₄下互为对偶，从而解释其形式重量分布对偶性。
• 将这些码表示为ℤ₄上的扩展循环码，从而实现基于校验子的高效译码。
• 为ℤ₄上的修改版Preparata码开发一种代数硬判决译码算法。
• 利用Kerdock码的ℤ₄结构，构建一种基于Hadamard变换的软判决译码算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有意义的代数意义上证明Kerdock码与Preparata码互为对偶，而非仅仅在重量分布上为形式对偶？
• RQ2 是否存在一个有限环上的线性代数结构，可统一构造这些非线性二元码？
• RQ3 ℤ₄上线性码的Gray映射能否重现Kerdock、Preparata与Goethals码的重量分布？
• RQ4 与直接的二进制方法相比，ℤ₄线性性是否能简化这些码的编码与译码？
• RQ5 能否利用Preparata码的陪集结构构造新的距离正则图？

主要发现

• Kerdock码与Preparata码在ℤ₄下互为对偶，这解释了其在重量分布上的形式对偶性。
• Nordstrom-Robinson码是ℤ₄上自对偶的“八元码”（长度为8的自对偶码）的Gray像。
• 所有这些码——包括Goethals码与Delsarte-Goethals码——均为ℤ₄上的扩展循环码，从而简化了编码与译码过程。
• 修改版Preparata码与原码具有相同的重量分布，但其在ℤ₄上为线性码，从而支持基于校验子的译码。
• 为ℤ₄上的修改版Preparata码提供了代数硬判决译码算法。
• 利用Kerdock码的ℤ₄线性性，构建了一种基于Hadamard变换的软判决译码算法。