[论文解读] The Zeta function, Periodic Points and Entropies of the Motzkin Shift

Kokoro Inoue|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2006

Cellular Automata and Applications参考文献 4被引用 14

一句话总结

本文提出一种方法，通过S-表示法与有限有向图及逆半群结构，计算Motzkin移位的zeta函数、周期点计数和熵。通过根据其乘数对周期点进行分类，并与边移位建立双射，作者推导出zeta函数、周期点计数和熵的精确公式，将Dyck移位的结果推广至更广泛的Motzkin移位类，并给出显式的闭式表达式。

ABSTRACT

We discuss a method of calculating the zeta function of subshifts which have a presentation by a finite directed graph labeled by elements of the associated inverse semigroup. This class of subshifts is introduced as a class of property A subshifts(T.Hamachi, K.Inoue and W.Krieger/Subsystems of finite type and semigroup invariants of subshifts, preprint), and the Dyck shift and the Motzkin shift are representative subshifts in this class. The exact number of the periodic points and entropies are also given by this method, and these values are used in the embedding condition for an irreducible shift of finite type into a subshift in this class.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于计算具有S-表示的子移位的zeta函数、周期点计数与熵，特别是Motzkin移位。
• 将已知的Dyck移位结果推广至更一般的Motzkin移位，后者包含额外的中性符号。
• 通过乘数分类与双射，建立Motzkin移位中周期点与边移位之间的联系。
• 提供周期点数量与熵值的精确公式，以支持不可约有限型移位的嵌入条件。

提出的方法

• 根据周期定义块的红色映射，按乘数的性质（正、负或中性）对Motzkin移位中的周期点进行分类。
• 在具有特定乘数类型的周期点集合与简化图G'和G''的边移位之间构造显式双射。
• 使用Sch"utzenberger方法与循环码的生成函数，从边移位的生成函数计算zeta函数。
• 基于子分量的生成函数，将完整Motzkin移位的zeta函数表示为含平方根的有理函数。
• 通过将总数分解为正/负部分的贡献并减去共享结构的重复计数，应用容斥原理计算周期点计数。
• 利用关联图生成函数的收敛半径，通过其主导特征值的对数计算拓扑熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过S-表示法与边移位双射计算Motzkin移位的zeta函数？
• RQ2 Motzkin移位中周期n的精确周期点数量是多少？其如何按不同乘数类型分解？
• RQ3 Motzkin移位的拓扑熵是多少？与Dyck移位相比有何差异？
• RQ4 Motzkin移位的熵h+与h−如何与移位结构相关联？在何种条件下它们会不同？
• RQ5 Motzkin移位的zeta函数能否通过生成函数与已知的Dyck移位结果表达为闭式？

主要发现

• Motzkin移位的zeta函数由如下闭式表达式给出：ζ(X(M),z) = 2(1+√(1−8Mz²)) / [(1−4Mz+√(1−8Mz²))(1−4z+√(1−8Mz²))]。
• Motzkin移位中周期n的周期点数量为 (2M+1)^n + (M+2)^n − ∑_{i=0}^{[n/2]} (n choose i) 2^i (M^i + M^{n−i}) + (n choose n/2)(2M)^{n/2}（当n为偶数时），奇数n时类似，但需乘以因子2。
• Motzkin移位的拓扑熵为 h(X(M)) = log(M+2)，其中 h+ = log(2M+1)，h− = log(M+2)，当M > 1时表现出不对称性。
• Dyck型路径集合E的生成函数为 f(E,z) = (1/2)(1−√(1−8Mz²))，与Dyck移位D_{2M}的生成函数完全相同。
• 正负部分的zeta函数分别为 ζ+(X(M),z) = 2 / (1−4Mz+√(1−8Mz²)) 与 ζ−(X(M),z) = 2 / (1−4z+√(1−8Mz²))。
• 周期点生成函数的收敛半径为：h+对应1/(2M+1)，h−对应1/(M+2)，通过其倒数验证了熵值的正确性。