[论文解读] The Zetafast algorithm for computing zeta functions

Kurt W. Fischer|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用 4

一句话总结

Zetafast 算法提出了一种新方法，通过利用由函数方程导出的三个绝对收敛级数，以最多 $ C(\epsilon)|\tau|^{1/2+\epsilon} $ 项计算黎曼 zeta 函数及其相关 L-函数，实现任意精度计算。该方法具备显式的误差界，适用于狄利克雷 L-函数及其他具有类似函数方程的 zeta 函数。

ABSTRACT

We express the Riemann zeta function $ζ\left(s ight)$ of argument $s=σ+iτ$ with imaginary part $τ$ in terms of three absolutely convergent series. The resulting simple algorithm allows to compute, to arbitrary precision, $ζ\left(s ight)$ and its derivatives using at most $C\left(ε ight)\left|τ ight|^{\frac{1}{2}+ε}$ summands for any $ε>0$, with explicit error bounds. It can be regarded as a quantitative version of the approximate functional equation. The numerical implementation is straightforward. The approach works for any type of zeta function with a similar functional equation such as Dirichlet $L$-functions, or the Davenport-Heilbronn type zeta functions.

研究动机与目标

• 开发一种快速、数值稳定的算法，用于以任意精度计算黎曼 zeta 函数 $ \zeta(s) $。
• 为 $ \zeta(s) $ 及其导数的逼近提供显式、可量化的误差界。
• 在函数方程条件下，将该方法扩展至其他 zeta 函数，包括狄利克雷 L-函数和达文波特-海布龙类型 zeta 函数。
• 在性能上与黎曼-西格尔公式相当，同时提供严格的误差控制与收敛性保证。

提出的方法

• 该算法将 $ \zeta(s) $ 表示为三个绝对收敛级数之和：$ D(s) $、$ E_1(s) $ 和 $ E_{-1}(s) $，使用归一化的不完全伽马函数 $ Q(v, n/N) $。
• 它利用 zeta 函数的函数方程，通过 $ n $ 求和与 $ m $ 求和之间的对偶性，结合相位与伽马因子校正，表示 zeta 值。
• 将级数 $ D(s) $ 截断至 $ \lceil \lambda v N \rceil $，其中 $ \lambda = 3.151 $，以确保误差小于 $ \delta/3 $。
• 通过渐近展开及对余项使用伽马函数与二项式展开的界，控制 $ E_\mu(s) $ 级数的误差。
• 选择 $ v = \lceil x_0 \rceil $，其中 $ x_0 $ 是方程 $ x - \max((1-\sigma)/2, 0)\ln(1/2 + x + \tau) = \ln(8/\delta) $ 的解，以平衡精度与计算成本。
• 该方法通过在函数方程结构中引入特征 $ \chi $ 与高斯和 $ G(\chi) $，可推广至狄利克雷 L-函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用有限项数以显式误差界实现黎曼 zeta 函数的任意精度计算？
• RQ2 所需求和项数随 $ s $ 的虚部 $ \tau $ 如何变化？是否可对任意 $ \epsilon > 0 $ 用 $ O(|\tau|^{1/2+\epsilon}) $ 有界？
• RQ3 该算法能否扩展至狄利克雷 L-函数及其他具有类似形式函数方程的 zeta 函数？
• RQ4 达到给定精度 $ \delta $ 所需的最少项数是多少？如何实现优化？

主要发现

• Zetafast 算法在最多 $ S \leq 2 + 8\sqrt{1 + \ln(8/\delta) + \max((1-\sigma)/2, 0)\ln(2\tau)}\sqrt{1 + \tau} $ 项内计算 $ \zeta(s) $，误差控制在 $ \delta $ 以内，且具有显式误差控制。
• 当 $ \tau > \frac{5}{3}(\frac{3}{2} + \ln(8/\delta)) $ 时，项数按 $ O(|\tau|^{1/2+\epsilon}) $ 的方式增长，对任意 $ \epsilon > 0 $ 成立，与黎曼-西格尔公式的渐近效率一致。
• 该算法通过固定 $ \lambda = 3.151 $ 实现任意精度，确保 $ D(s) $ 的余项被限制在 $ \delta/3 $ 以内，且 $ E_\mu(s) $ 也具有类似界。
• 该方法可推广至具有本原非主特征的狄利克雷 L-函数，通过引入高斯和与函数方程结构。
• 通过级数逐项求导，可计算 $ \zeta(s) $ 的导数，其误差界可从同一框架中显式导出。
• 该方法提供了近似函数方程的量化版本，所有组成部分与误差界均可显式计算。