[论文解读] Theorem for the design of deployable kirigami tessellations with different topologies

Xiangxin Dang, Fan Feng+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2021

Advanced Materials and Mechanics参考文献 36被引用 24

一句话总结

本文提出了一种统一定理，用于设计具有任意拓扑结构（包括多个孔洞）的刚性可展开四边形剪折 tessellations（RDPQK）。通过线性方程表述顶点位置，并利用平行四边形空洞强制实现可展开性，该方法实现了具有单自由度的形状可变 tessellations 的逆向设计，在零亏格、一亏格及更高亏格配置下均得到验证。

ABSTRACT

The concept of kirigami has been extensively utilized to design deployable structures and reconfigurable metamaterials. Despite heuristic utilization of classical kirigami patterns, the gap between complex kirigami tessellations and systematic design principles still needs to be filled. In this paper, we develop a unified design method for deployable quadrilateral kirigami tessellations perforated on flat sheets with different topologies. This method is based on the parametrization of kirigami patterns formulated as the solution of a linear equation system. The geometric constraints for the deployability of parametrized cutting patterns are given by a unified theorem covering different topologies of the flat sheets. As an application, we employ the design method to achieve desired shapes along the deployment path of kirigami tessellations, while preserving the topological characteristics of the flat sheets. Our approach introduces interesting perspectives for the topological design of kirigami-inspired structures and metamaterials.

研究动机与目标

• 为复杂剪折 tessellations 与系统化设计原则之间的鸿沟提供填补，特别是针对非平凡拓扑结构。
• 建立一个适用于不同拓扑亏格（如零亏格、一亏格、n 亏格）的广义可展开性条件。
• 实现 RDPQK tessellations 的逆向设计，使其在保持拓扑特征的同时达到期望的展开形状。
• 提供一种计算高效的算法，用于在几何约束下优化顶点位置，以实现刚性可展开性。
• 证明所得 tessellations 为具有单自由度的柔顺机构，适用于驱动。

提出的方法

• 通过线性方程组参数化四边形剪折图案的顶点位置，实现高效求解与优化。
• 通过将铰链旋转和板片位置表示为顶点坐标的函数，建立刚性板片运动的表达式。
• 推导出统一的可展开性定理：只要所有切割空洞均为平行四边形，PQK tessellations 即为刚性可展开，无论其拓扑结构如何。
• 通过将几何约束推广至任意孔洞配置，将该定理应用于零亏格、一亏格及更高亏格的 tessellations。
• 将形状演变目标与可展开性约束整合进优化算法中，以实现目标展开形状。
• 通过数值模拟与解析证明验证该方法，表明所得机构具有单自由度。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种几何约束可确保具有任意拓扑结构（包括多个孔洞）的四边形剪折 tessellations 实现刚性可展开？
• RQ2 如何构建一个适用于不同拓扑亏格（如零亏格、一亏格、n 亏格）的 RDPQK tessellations 的统一设计框架？
• RQ3 可展开性条件能否以一种可支持逆向设计的方式表述，从而实现特定展开形状的 tessellations？
• RQ4 平行四边形空洞在不同拓扑结构下如何实现刚性可展开性？
• RQ5 鉴于其运动学行为，如何使所得 tessellations 适用于机械驱动？

主要发现

• 建立统一的可展开性定理：只要所有切割空洞为平行四边形，四边形剪折 tessellations 即为刚性可展开，无论其平面片的亏格为何。
• 该方法可实现 RDPQK tessellations 的逆向设计，通过在可展开性约束下优化顶点位置，近似实现期望的展开形状，如带孔或不带孔的圆盘。
• 所得 tessellations 为具有恰好一个自由度的柔顺机构，可通过外部驱动器实现受控展开。
• 该方法从零亏格（无孔）推广至一亏格（一个孔）及更高亏格，且可展开性条件在所有拓扑结构下保持一致。
• 顶点位置的线性表述使得几何约束可高效求解，使该方法在复杂 tessellations 下仍具有计算可行性。
• 该方法成功设计出从平坦切割片演化为复杂目标形状的 tessellations，同时保持刚性板片运动与可展开性。