[论文解读] Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata

Leonhard Euler, Artur Diener+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2012

History and Theory of Mathematics被引用 13

一句话总结

本文提出了一种新颖的代数方法，利用欧拉函数推广费马小定理。欧拉证明了对于任意与 $ N $ 互素的整数 $ a $，有 $ a^{ heta(N)} \equiv 1 \pmod{N} $，其中 $ \phi(N) $ 表示小于 $ N $ 且与 $ N $ 互素的整数的个数。其主要贡献是利用等差数列和模逆元的性质，对这一推广进行了基础性证明，为现代数论中所称的欧拉定理奠定了理论基础。

ABSTRACT

Euler presents a third proof of the Fermat theorem, the one that lets us call it the Euler-Fermat theorem. This seems to be the proof that Euler likes best. He also proves that the smallest power x^n that, when divided by a numer N, prime to x, and that leaves a remainder of 1, is equal to the number of parts of N that are prime to n, that is to say, the number of distinct aliquot parts of N. The translation is presnted from Euler's Latin original into German.

研究动机与目标

• 将费马小定理从素数模数推广到任意正整数 $ N $。
• 开发一种系统化的方法，用于确定小于 $ N $ 且与 $ N $ 互素的整数的个数，即定义并计算 $ \phi(N) $。
• 证明当 $ \gcd(a, N) = 1 $ 时，$ a^{\phi(N)} - 1 $ 可被 $ N $ 整除，从而建立一个普遍的同余法则。
• 使用等差数列和模逆元的性质，提供该结果的新构造性证明。

提出的方法

• 使用与 $ N $ 互素的公差 $ d $ 的等差数列，证明其模 $ N $ 的剩余类覆盖了从 $ 0 $ 到 $ N-1 $ 的所有整数。
• 证明若 $ d $ 与 $ N $ 互素，则等差数列 $ a, a+d, a+2d, \dots, a+(N-1)d $ 的前 $ N $ 项在模 $ N $ 下产生互异的剩余类。
• 应用抽屉原理，表明这 $ N $ 个互异的剩余类必然包含所有整数 $ 0, 1, \dots, N-1 $，包括 0，从而蕴含可除性。
• 将 $ \phi(N) $ 定义为小于 $ N $ 且与 $ N $ 互素的整数的个数，并证明当 $ \gcd(a, N) = 1 $ 时，有 $ a^{\phi(N)} \equiv 1 \pmod{N} $。
• 引入模 $ N $ 下 $ a $ 的阶的概念，定义为满足 $ a^{\nu} \equiv 1 \pmod{N} $ 的最小正整数 $ \nu $，并证明 $ \nu \mid \phi(N) $。
• 利用 $ x^{\nu} \equiv 1 \pmod{N} $ 蕴含 $ x^{k\nu} \equiv 1 \pmod{N} $ 的事实，因此由于 $ \phi(N) $ 是 $ \nu $ 的倍数，该指数满足同余式。

实验结果

研究问题

• RQ1 费马小定理如何能推广到合数模数？
• RQ2 当 $ \gcd(a, N) = 1 $ 时，满足 $ a^{\nu} \equiv 1 \pmod{N} $ 的最小指数 $ \nu $ 由什么决定？
• RQ3 模 $ N $ 的乘法群的结构是怎样的，有多少个元素与 $ N $ 互素？
• RQ4 能否为 $ a^{\phi(N)} \equiv 1 \pmod{N} $ 建立一个普遍的同余法则？
• RQ5 模 $ N $ 下 $ a $ 的阶与 $ \phi(N) $ 之间存在何种关系？

主要发现

• 对于任意与 $ N $ 互素的整数 $ a $，表达式 $ a^{\phi(N)} - 1 $ 可被 $ N $ 整除，即 $ a^{\phi(N)} \equiv 1 \pmod{N} $。
• 数 $ \phi(N) $ 称为欧拉函数，表示小于 $ N $ 且与 $ N $ 互素的整数的个数。
• 满足 $ a^{\nu} \equiv 1 \pmod{N} $ 的最小指数 $ \nu $ 整除 $ \phi(N) $，即 $ \nu \mid \phi(N) $。
• 当 $ N $ 为素数时，$ \phi(N) = N-1 $，此时结果退化为费马小定理：$ a^{N-1} \equiv 1 \pmod{N} $。
• 证明依赖于这样一个事实：公差 $ d $ 与 $ N $ 互素的等差数列在模 $ N $ 下产生 $ N $ 个互异的剩余类，覆盖从 $ 0 $ 到 $ N-1 $ 的所有值。
• 该结果对所有满足 $ \gcd(a, N) = 1 $ 的 $ a $ 成立，且指数 $ \phi(N) $ 是对所有此类 $ a $ 均适用的最大的统一指数。