[论文解读] Theorems, Problems and Conjectures

Tewodros Amdeberhan|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用 33

一句话总结

本文提出了一系列关于欧拉多项式、钩长、杨图内容以及着色过分拆的猜想、定理和开放问题，重点在于受Nekrasov-Okounkov和Stanley型公式启发的组合恒等式与生成函数。主要贡献是与George Andrews合作证明了一个关于着色过分拆的猜想同余式，现已成为定理：对所有 $ n \geq 0 $，有 $ \overline{p}_c(2^c n + 2^{c-1}) \equiv 0 \mod c^2 $。此外，本文还提出了一个关于色多项式系数无限对数凹性的新猜想。

ABSTRACT

These notes are designed to offer some (perhaps new) codicils to related work, a list of problems and conjectures seeking (preferably) combinatorial proofs. The main items are Eulerian polynomials and hook/contents of Young diagram, mostly on the latter. We also have items on Frobenius theorem and multi-core partitions; most recently, some problems on (what we call) colored over-partitions. Formulas analogues to or in the spirit of works by Han, Nekrasov-Okounkov and Stanley are distributed throughout. Concluding remarks are provided at the end in hopes of directing the interested researcher, properly. The newly added problem is on chromatic polynomials

研究动机与目标

• 通过生成函数与组合结构统一并拓展已知的钩长与内容相关恒等式。
• 提出涉及欧拉多项式、多核分拆与着色过分拆的新猜想，并给出组合证明。
• 研究色多项式系数的对数凹性与无限对数凹性。
• 提供一个动态演化的开放问题与分拆理论及对称函数恒等式最新进展的资料库。

提出的方法

• 利用生成函数，特别是指数生成函数与 $ q $-生成函数，将排列统计量与分拆恒等式关联。
• 应用 $ q $-指数函数与高斯二项式系数，推广欧拉多项式与贝尔多项式。
• 运用杨图的对偶性与对称性，将钩长、臂长与腿长关联于分拆恒等式中。
• 借鉴Han、Nekrasov-Okounkov与Stanley的已知结果，推导新恒等式与新猜想。
• 通过组合解释与生成函数运算，探索关于着色过分拆与色多项式的猜想。
• 整合分拆理论的最新进展，包括Amdeberhan、Leven、Yang、Zhou、Xiong与Nath的研究成果，以更新并解决先前猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 猜想2.2(a)中所述，多项式 $ P_n(t) = \sum_{\lambda \vdash n} \prod_{u \in \lambda} \frac{h_u^2 + t}{h_u^2} $ 是否仅有单重负实根？
• RQ2 如猜想13.1所提议，任一色多项式的系数序列是否为无限对数凹的？
• RQ3 如猜想12.2所述，着色过分拆的生成函数是否对所有 $ n \geq 0 $ 满足同余式 $ \overline{p}_c(2^c n + 2^{c-1}) \equiv 0 \mod c^2 $？
• RQ4 当 $ \alpha = a+b+1 $ 时，对称恒等式 $ \binom{\alpha}{a}_q + \sum_k \binom{\alpha}{k}_q 2^{\alpha-k} B_{k,b}(q) = \binom{\alpha}{b}_q + \sum_k \binom{\alpha}{k}_q 2^{\alpha-k} B_{k,a}(q) $ 是否可给出组合证明？
• RQ5 如猜想2.1所提出，恒等式 $ \sum_{\lambda \vdash n} \prod_{u \in \lambda} \frac{h_u + t}{h_u} = \sum_{\lambda \vdash n} \prod_{j \geq 1} \binom{k_j + t}{k_j} $ 的组合解释是什么？

主要发现

• 与George Andrews合作，已将猜想 $ \overline{p}_c(2^c n + 2^{c-1}) \equiv 0 \mod c^2 $ 对所有 $ n \geq 0 $ 证明为定理。
• 着色过分拆数的生成函数为 $ \sum_{n \geq 0} \overline{p}_c(n) q^n = \frac{((1-c)q; q)_\infty}{(q; q)_\infty} $，由有限矩形公式的极限情形导出。
• 所有测试图（包括环、树、完全图与带符号书图）的色多项式系数均表现出无限对数凹性，支持猜想13.1。
• 恒等式 $ \sum_{\lambda \vdash n} \prod_{u \in \lambda} \frac{h_u^2 + t}{h_u^2} = \sum_{\lambda \vdash n} \prod_{j \geq 1} \binom{k_j + t}{k_j} $ 得到对偶性与已知结果的支持，但完整的组合证明仍悬而未决。
• 问题2.2（关于分拆中钩长为1的格子最大数量）已在[4]中推广并解决，适用于 $ k $-钩。
• $ B $ 型 $ q $-欧拉多项式满足对称性 $ B_{n,k}(q) = B_{n,n-k}(q) $，通过生成函数代换得证。