[论文解读] Theoretical and computational aspects of entanglement

Harm Derksen, Shmuel Friedland+2 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 38被引用 16

一句话总结

本文建立了量子系统中几何纠缠与核范数最大化的对偶性，证明了具有最大几何纠缠度量的态也实现了最大核范数。引入了混合 d 体态的 d-密度张量，表明可分性等价于核范数等于 1，并提出一种用于计算核范数的交替算法，数值验证表明对于 3 量子比特，W 态为最大纠缠态，且证实了 Higuchi-Sudbery 关于 4 量子比特的猜想。

ABSTRACT

We show that the two notions of entanglement: the maximum of the geometric measure of entanglement and the maximum of the nuclear norm is attained for the same states. We affirm the conjecture of Higuchi-Sudberry on the maximum entangled state of four qubits. We introduce the notion of d-density tensor for mixed d-partite states. We show that d-density tensor is separable if and only if its nuclear norm is $1$. We suggest an alternating method for computing the nuclear norm of tensors. We apply the above results to symmetric tensors. We give many numerical examples.

研究动机与目标

• 建立 d 体量子系统中张量的几何纠缠度量与核范数之间的理论与计算联系。
• 证明在几何度量下最大纠缠的态恰好对应于最大核范数，从而证实了关于 4 量子比特最大纠缠态的猜想。
• 为混合 d 体态引入 d-密度张量的概念，并通过核范数恰好为 1 来表征可分性。
• 开发并验证一种用于计算张量核范数（尤其是对称张量）的交替算法，通过已知纠缠态的数值验证。
• 证明对于大 d 值，对称 d 量子比特态（玻色子）的纠缠度较低，且其纠缠度可高效计算。

提出的方法

• 提出一种交替优化算法以计算张量的核范数，类似于谱范数的计算方法，收敛至局部极小值或临界点。
• 引入 d-密度张量作为混合 d 体态的密度矩阵推广，其可分性等价于核范数恰好为 1。
• 将核范数用作不可分性的度量，表明其值至少为 1，且仅当态为可分时等于 1。
• 将交替算法适配于对称张量，与 Nie（2012）提出的 Lasserre 半定规划松弛方法进行比较。
• 使用数值软件计算对称 d 量子比特态（包括 W 态和 d 对称量子比特态）的谱范数与核范数。
• 通过在实数与复数域上对称态的随机采样，验证算法的鲁棒性与一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有最大几何纠缠度量的态是否也具有最大核范数？
• RQ2 当且仅当态为可分时，d-密度张量的核范数是否等于 1？
• RQ3 交替算法能否可靠地计算张量（尤其是对称张量）的核范数，且具有高精度？
• RQ4 W 态是否为最纠缠的 3 量子比特态？Higuchi 和 Sudbery 所提出的 4 量子比特态是否实现了最大纠缠？
• RQ5 对于大 d 值，对称 d 量子比特态是否纠缠度较低，且其纠缠度是否可在多项式时间内计算？

主要发现

• 最大几何纠缠度量与最大核范数在相同量子态上实现，证实了这两种纠缠度量之间的对偶性。
• d-密度张量的核范数恰好为 1 当且仅当态为可分态，从而以核范数完全表征了可分性。
• 通过数值计算与理论分析，证实了 Higuchi-Sudbery 关于 4 量子比特最大纠缠态的猜想为真。
• 对于 3 量子比特，通过谱范数与核范数的数值计算，确认 W 态为最纠缠态。
• 文献 [2] 中提出的 d 对称量子比特态在 d=3 至 6 的范围内，经数值验证为最纠缠的对称 d 量子比特态。
• 核范数计算的交替算法收敛稳定，且与半定规划松弛方法结果一致，表现出在实数与复数对称张量上的稳定性能。