[论文解读] Theoretical and numerical studies on global stability of traveling waves with oscillations for time-delayed nonlocal dispersion equations

Tianyuan Xu, Shanming Ji+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 24被引用 8

一句话总结

该论文通过结合加权能量法与基本解理论，建立了时滞非局部扩散方程中振荡行波的全局稳定性。证明了最优收敛速率——非临界波为时间指数速率，临界振荡波为时间代数速率，并通过一种新型带有人工黏性的有限差分格式在数值上验证了结果，以稳定振荡的非局部解。

ABSTRACT

This paper is concerned with the global stability of non-critical/critical traveling waves with oscillations for time-delayed nonlocal dispersion equations. We first theoretically prove that all traveling waves, especially the critical oscillatory traveling waves, are globally stable in a certain weighted space, where the convergence rates to the non-critical oscillatory traveling waves are time-exponential, and the convergence to the critical oscillatory traveling waves are time-algebraic. Both of the rates are optimal. The approach adopted is the weighted energy method with the fundamental solution theory for time-delayed equations. Secondly, we carry out numerical computations in different cases, which also confirm our theoretical results. Because of oscillations of the solutions and nonlocality of the equation, the numerical results obtained by the regular finite difference scheme are not stable, even worse to be blow-up. In order to overcome these obstacles, we propose a new finite difference scheme by adding artificial viscosities to both sides of the equation, and obtain the desired numerical results.

研究动机与目标

• 研究时滞非局部扩散方程中振荡行波的全局稳定性。
• 分析解向临界与非临界振荡行波收敛的行为。
• 克服标准有限差分格式在求解具有时滞的振荡、非局部方程时的数值不稳定性。
• 提出一种利用人工黏性稳定化的方法，以准确模拟此类系统的长时间动力学行为。
• 通过在多种参数条件下进行数值计算，验证理论稳定性结果。

提出的方法

• 对时滞偏微分方程采用加权能量法结合基本解理论。
• 通过线性化系统的拉普拉斯变换推导波速与谱性质的特征方程。
• 在加权Sobolev空间中建立收敛速率：非临界波为指数速率，临界波为代数速率。
• 通过在方程两侧添加人工黏性，提出一种新型有限差分格式，以稳定振荡的非局部解。
• 采用谱线法结合半离散化方法数值求解时滞非局部PDE。
• 通过比较数值解与解析行波轮廓在多种参数情形下的结果，验证理论发现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在时滞非局部扩散方程中，解向非临界与临界振荡行波的收敛速率是什么？
• RQ2 时滞如何影响此类系统中临界行波的振荡特性？
• RQ3 标准有限差分格式能否可靠模拟振荡、非局部、时滞方程，还是会出现不稳定或发散？
• RQ4 何种数值策略可稳定非局部、时滞PDE中振荡解的计算？
• RQ5 在何种参数条件下（如时滞、出生/死亡率比值）临界波会从单调转变为振荡？

主要发现

• 非临界振荡行波在加权空间中以时间指数速率收敛至平衡态，该速率是最优的。
• 临界振荡行波以时间代数速率收敛，该速率同样是最优的，证实了精确的衰减行为。
• 当 $ p=5, r=0.2 $ 时，临界波速为 $ c^* = 5.104 $，解单调收敛至单调行波。
• 当 $ p=5, r=2 $ 时，临界波速降至 $ c^* = 1.311 $，由于时滞较大，解收敛至振荡行波。
• 当 $ p=10, r=0.2 $ 时，$ c^* = 7.153 $，波保持单调，因为 $ r < \underline{r} = 0.225 $，与理论预测一致。
• 当 $ p=10, r=2 $ 时，$ c^* = 1.618 $，由于 $ \underline{r} < r < \overline{r} $，解收敛至振荡波，证实了振荡区域的存在。