[论文解读] Theories homotopiques de Quillen combinatoires et derivateurs de Grothendieck

Olivier Renaudin|ArXiv.org|Mar 14, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文構造了組合 Quillen 模型 2-類相對於 Quillen 同構的偽局部化，證明其完全忠實嵌入至具右與左伴隨的 Grothendieck 衍生 2-類中。利用 Dugger 的陳述結果與 Cisinski 的衍生器機制，作者確立了組合 Quillen 理論的同倫 2-類與具伴隨的右/左衍生器 2-類之間的局部同構，顯示衍生器捕捉了組合模型類別的本質同倫結構。

ABSTRACT

We construct a pseudo-localization of the 2-category of combinatorial Quillen model categories with respect to Quillen equivalences, and then verify that it embeds in a 2-category of Grothendieck derivators.

研究动机与目标

• 比較組合 Quillen 模型類別的 2-類與 Grothendieck 衍生器的 2-類。
• 構造組合 Quillen 模型類別 2-類相對於 Quillen 同構的偽局部化。
• 證明此偽局部化完全忠實嵌入至具右與左伴隨的衍生器 2-類中。
• 顯示所得的同倫理論 2-類捕捉了組合模型類別的本質同倫不變量。
• 利用 Dugger 的結果將比較推廣至 pointed、stable、simplicial 與 spectral 模型類別。

提出的方法

• 使用將 Quillen 同構映射為同構的偽函子，構造組合 Quillen 模型類別 2-類的偽局部化。
• 在 Quillen 模型類別的 2-類中引入柱與路徑對象，以定義 Quillen 同倫為在可纏繞對象上的弱同構。
• 應用 Dugger 的陳述定理，顯示每個組合模型類別都與一個可表示的類別 Quillen 同構。
• 利用 Cisinski 從 Quillen 模型類別到衍生器的偽函子構造，導出從偽局部化到具伴隨的衍生器 2-類的映射。
• 利用 Cisinski 的衍生器表示性定理，證明所導出的偽函子為局部同構。
• 引入「小表示的衍生器」概念，以特徵化此構造的本質像。

实验结果

研究问题

• RQ1 組合 Quillen 模型類別的 2-類能否在 Quillen 同構處局部化，從而形成一個良好的同倫理論 2-類？
• RQ2 此局部化 2-類能否完全忠實嵌入至具伴隨的 Grothendieck 衍生器 2-類中？
• RQ3 衍生器是否能捕捉組合模型類別的同倫不變量，直至同構？
• RQ4 模型類別 2-類中的柱與路徑對象如何確保同倫被映射為局部化下的同構？
• RQ5 此局部化映射的本質像是何種衍生器理論性質？

主要发现

• 組合 Quillen 同倫理論的 2-類，記為 $\mathfrak{THQ}^c$，被構造為組合 Quillen 模型類別 2-類在 Quillen 同構處的偽局部化。
• 偽局部化 $\Gamma: \mathfrak{ModQ}^c \to \mathfrak{THQ}^c$ 滿足一個普遍性：任何將 Quillen 同構映射為同構的偽函子皆可唯一地透過 $\Gamma$ 因子化。
• 此構造確保 Quillen 同倫（在可纏繞對象上的弱同構）被映射為 $\mathfrak{THQ}^c$ 中的同構，反映出同倫不變性。
• 存在一個局部同構 $\mathfrak{THQ}^c \to \mathfrak{Der}_{ad}$，其中 $\mathfrak{Der}_{ad}$ 是具右與左伴隨的衍生器 2-類。
• 此同構的本質像由「小表示的衍生器」構成，特徵化了來自組合模型類別的衍生器。
• 透過 Dugger 的觀察，結果可推廣至 pointed、stable、simplicial 與 spectral 模型類別，顯示此框架在標準同倫情境中具有強健性。