[论文解读] Theories without the tree property of the second kind

Artem Chernikov|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Apr 3, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文建立了不含第二类树性质（NTP₂）理论的基础性质，证明了：负担是次可乘的，NTP₂等价于广义金引理与有界ist-权重，并且任意1-类型的dp-秩可由互为不可区分的单元素序列实现。此外，本文还表明在NTP₂理论中，简单类型是共简单类型，且分叉关系满足完全对称性；并证明特征为(0,0)的Henselian赋值域是NTP₂当且仅当其剩余域与值群均为NTP₂。

ABSTRACT

We initiate a systematic study of the class of theories without the tree property of the second kind - NTP2. Most importantly, we show: the burden is "sub-multiplicative" in arbitrary theories (in particular, if a theory has TP2 then there is a formula with a single variable witnessing this); NTP2 is equivalent to the generalized Kim's lemma and to the boundedness of ist-weight; the dp-rank of a type in an arbitrary theory is witnessed by mutually indiscernible sequences of realizations of the type, after adding some parameters - so the dp-rank of a 1-type in any theory is always witnessed by sequences of singletons; in NTP2 theories, simple types are co-simple, characterized by the co-independence theorem, and forking between the realizations of a simple type and arbitrary elements satisfies full symmetry; a Henselian valued field of characteristic (0,0) is NTP2 (strong, of finite burden) if and only if the residue field is NTP2 (the residue field and the value group are strong, of finite burden respectively), so in particular any ultraproduct of p-adics is NTP2; adding a generic predicate to a geometric NTP2 theory preserves NTP2.

研究动机与目标

• 启动对NTP₂理论的系统研究，该类一阶理论排除了第二类树性质。
• 澄清负担在任意理论中作为复杂性度量的作用，证明其是次可乘的。
• 通过广义金引理与有界ist-权重刻画NTP₂理论，统一稳定性和单纯性理论中的概念。
• 证明在任意理论中，1-类型的dp-秩可通过添加参数后实现为互为不可区分的实现实例序列。
• 证明在NTP₂理论中，简单类型是共简单类型，且分叉关系在简单类型实现实例与任意元素之间满足完全对称性；并分析Henselian赋值域与p进数超积的模型论行为。

提出的方法

• 引入并分析inp-模式与负担作为基数不变量，使用部分类型上的相对化方法。
• 对公式数组应用归纳构造，证明若存在深度为κ的inp-模式，则存在变量依赖更少的模式。
• 在Denef-Pas语言中使用胞腔分解，将Henselian赋值域中的公式约化为值群与剩余域公式的组合。
• 利用值群与剩余域之间的稳定嵌入性与正交性关系，以限制inp-模式的规模。
• 借助诚实定义及[CS13]中的结果，将dp-秩的实现性扩展至任意理论。
• 应用Keisler序与饱和性论证，分析p进数域的超积及其模型论性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 理论的负担是否是次可乘的？这是否意味着TP₂可由仅含一个变量的公式实现？
• RQ2 在任意理论中，1-类型的dp-秩是否可在添加参数后由互为不可区分的实现实例序列实现？
• RQ3 在NTP₂理论中，简单类型实现实例与任意元素之间的分叉关系是否完全对称？
• RQ4 对于特征为(0,0)的Henselian赋值域，其为NTP₂当且仅当其剩余域与值群均为NTP₂吗？
• RQ5 在纯域语言中，p进数域的超积的负担是否为1，尽管其在Denef-Pas语言中负担至少为2？

主要发现

• 理论的负担是次可乘的：若 bdn(a/C) < κ 且 bdn(b/aC) < λ，则 bdn(ab/C) < κ × λ。
• 若理论具有TP₂，则存在一个公式φ(x,y)，其中x为单元素，可实现TP₂。
• 在NTP₂理论中，1-类型的dp-秩总可在添加参数后由互为不可区分的单元素序列实现。
• 在NTP₂理论中，简单类型是共简单类型，且简单类型实现实例与任意元素之间的分叉关系满足完全对称性。
• 特征为(0,0)的Henselian赋值域是NTP₂（且负担有限）当且仅当其剩余域是NTP₂且其值群为有限负担的强理论。
• 在纯域语言中，p进数域的超积是NTP₂，且尽管其在Denef-Pas语言中负担至少为2，但猜想其负担为1。