[论文解读] Theory for Equivariant Quantum Neural Networks

Kate Nguyen, Louis Schatzki+6 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 172被引用 26

一句话总结

该论文构建了一个全面的理论框架，用于设计尊重对称群的等变量量子神经网络（EQNNs）。提出构建和参数化等变层的方法（包括非幺正通道），并展示了 SU(2)-等变的 QCNN，在量子相分类任务中取得了性能提升。

ABSTRACT

Quantum neural network architectures that have little-to-no inductive biases are known to face trainability and generalization issues. Inspired by a similar problem, recent breakthroughs in machine learning address this challenge by creating models encoding the symmetries of the learning task. This is materialized through the usage of equivariant neural networks whose action commutes with that of the symmetry. In this work, we import these ideas to the quantum realm by presenting a comprehensive theoretical framework to design equivariant quantum neural networks (EQNN) for essentially any relevant symmetry group. We develop multiple methods to construct equivariant layers for EQNNs and analyze their advantages and drawbacks. Our methods can find unitary or general equivariant quantum channels efficiently even when the symmetry group is exponentially large or continuous. As a special implementation, we show how standard quantum convolutional neural networks (QCNN) can be generalized to group-equivariant QCNNs where both the convolution and pooling layers are equivariant to the symmetry group. We then numerically demonstrate the effectiveness of a SU(2)-equivariant QCNN over symmetry-agnostic QCNN on a classification task of phases of matter in the bond-alternating Heisenberg model. Our framework can be readily applied to virtually all areas of quantum machine learning. Lastly, we discuss about how symmetry-informed models such as EQNNs provide hopes to alleviate central challenges such as barren plateaus, poor local minima, and sample complexity.

研究动机与目标

• 识别对称性在量子机器学习中的作用，并说明使用等变模型以提升可训练性和泛化性的动机。
• 为 EQNNs 构建一个通用理论框架，能够容纳任意相关对称群的幺正与非幺正通道。
• 提供实用的方法来构建与参数化 EQNN 层，并分析它们的权衡。
• 展示一个显式的群等变 QCNN（SU(2)），并在量子相分类任务中将其与对称性无关的对照进行基准比较。

提出的方法

• 将 EQNN 层解释为通过群表示及其交换子在广义傅里叶空间上的作用。
• 利用等型分解和 Choi 表示来计数等变单位性以及 CPTP 通道的自由参数数量。
• 提出三种构造方法：矩阵方程的零空间、对群的旋转平均（twirling）、以及 Choi 算子参数化。
• 将中间表示（如 Rin、R1、...、Rout）作为超参数引入，并讨论改变表示如何改变可访问的信息与处理能力。
• 基于输入/输出表示尺寸，将等变层分类为标准、嵌入或池化。
• 演示如何将 QCNN 泛化为群等变 QCNN，并提供 SU(2)-等变 QCNN 架构。

实验结果

研究问题

• RQ1 EQNNs 如何能系统地为几乎任意对称群构建？
• RQ2 等变通道与单位性的准确参数数量及结构约束是什么？
• RQ3 中间表示如何影响 EQNNs 的表达能力与可训练性？
• RQ4 群等变 QCNN 是否能在量子相分类任务中优于对称性无关的变体？

主要发现

• EQNN 层在数据上表现为广义傅里叶变换，且在同构分解的重数空间上才有非平凡作用。
• 在 (G, Rin, Rout)-等变 CPTP 通道中的自由参数数量由表示相关的计数给出，通过对称性约束实现参数效率。
• 三种构造性方法（零空间、twirling、Choi 表示）使等变层的参数化高效，即使对于指数级大或连续的群也适用。
• 中间表示（Rin、R1、...、Rout）作为超参数，可以改变模型对信息的访问及处理能力。
• 一个 SU(2)-等变 QCNN 在键交替的海森堡模型相分类任务中，相较于对称性无关的 QCNN 表现出更好的性能。