[论文解读] Theory of interleavings on categories with a flow

Vin de Silva, Elizabeth Munch+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2017

Topological and Geometric Data Analysis被引用 7

一句话总结

本文将拓扑数据分析中的交错距离推广至配备流结构的任意范畴——即 [0, ∞) 的 lax 幂等作用——并证明此类范畴自然构成 Lawvere 度量空间。核心贡献是一个函子性框架，其中 colax [0, ∞)-等变函子诱导 1-Lipschitz 映射，统一并简化了 TDA 及其之外的稳定性结果，涵盖持久性模、Reeb 图以及 Hausdorff 距离与 L∞-范数等常见度量。

ABSTRACT

The interleaving distance was originally defined in the field of Topological Data Analysis (TDA) by Chazal et al. as a metric on the class of persistence modules parametrized over the real line. Bubenik et al. subsequently extended the definition to categories of functors on a poset, the objects in these categories being regarded as `generalized persistence modules'. These metrics typically depend on the choice of a lax semigroup of endomorphisms of the poset. The purpose of the present paper is to develop a more general framework for the notion of interleaving distance using the theory of `actegories'. Specifically, we extend the notion of interleaving distance to arbitrary categories equipped with a flow, i.e. a lax monoidal action by the monoid $[0,\infty)$. In this way, the class of objects in such a category acquires the structure of a Lawvere metric space. Functors that are colax $[0,\infty)$-equivariant yield maps that are $1$-Lipschitz. This leads to concise proofs of various known stability results from TDA, by considering appropriate colax $[0,\infty)$-equivariant functors. Along the way, we show that several common metrics, including the Hausdorff distance and the $L^{\infty}$-norm, can be realized as interleaving distances in this general perspective.

研究动机与目标

• 将交错距离从 ℝ 上的持久性模推广至配备流结构的任意范畴。
• 通过 actegory 与 lax 幂幺作用，提供一个统一的范畴框架以定义交错。
• 证明此类范畴自然具备 Lawvere 度量空间的结构。
• 证明 colax [0, ∞)-等变函子可诱导 1-Lipschitz 映射，从而推广稳定性定理。
• 证明如 Hausdorff 与 L∞-范数等经典度量可在此通用框架中作为交错距离重现。

提出的方法

• 利用 actegory 理论将具有流结构的范畴形式化为 [0, ∞) 在范畴上的 lax 幂幺作用。
• 通过涉及平移函子 Tε 的自然变换定义 ε-交错，推广原始 TDA 定义。
• 将交错距离 d(C,T) 构造为存在 ε-交错的 ε 的下确界。
• 刻画 colax [0, ∞)-等变函子为在交错度量空间之间诱导 1-Lipschitz 映射的函子。
• 将具有流结构的范畴重新解释为从 B[0, ∞) 到 CAT 的 lax 2-函子，从而获得高阶范畴视角。
• 建立一个从 metacategory [0, ∞)-ACT 到 [0, ∞]-CAT 的函子 I，将 (C, T) 映射为 (C, d(C,T))，并将函子映射为 1-Lipschitz 映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 交错距离能否被推广至超越 ℝ 参数化持久性模的任意具有流结构的范畴？
• RQ2 如何利用 actegory 理论与 lax 幂幺作用形式化交错的概念？
• RQ3 交错距离的范畴结构是什么？它与 Lawvere 度量空间有何关联？
• RQ4 colax [0, ∞)-等变函子是否总能在交错度量下诱导 1-Lipschitz 映射？
• RQ5 在该通用框架中，Hausdorff 距离与 L∞-范数等经典度量能否被还原为交错距离？

主要发现

• 在具有流结构的范畴 (C, T) 上，交错距离 (C, d(C,T)) 构成一个 Lawvere 度量空间。
• colax [0, ∞)-等变函子 H: (C, T) → (D, S) 在交错度量空间之间诱导 1-Lipschitz 映射 H: (C, d(C,T)) → (D, d(D,S))。
• 交错构造 I 是函子性的：它将 colax [0, ∞)-等变函子映射为 1-Lipschitz 映射，保持复合与单位元。
• Hausdorff 距离与 L∞-范数可在此推广框架中作为交错距离实现。
• 持久性模与图的稳定性定理由该通用框架作为特例导出。
• 该框架可推广至 Reeb 图，并通过更简单的对象为其交错距离提供界。