[论文解读] Theory of Perturbations with a Strong Interaction

V. I. Yukalov|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 15

一句话总结

本文为强相互作用统计系统发展了一套自洽微扰理论，传统的小参数展开在此失效。通过在可观测量平均值上施加自洽条件，引入了最优试探格林函数，得到了超谐波、半谐波和伪谐波近似，能精确或更高阶地包含非谐性，关键结果为通过非微扰势的频率重整化，研究分子晶体的声子行为。

ABSTRACT

This is one of the two papers where the optimized perturbation theory was first formulated. The other paper is published in Theor. Math. Phys. 28, 652--660 (1976). The main idea of the theory is to reorganize the perturbative sequence by introducing control functions, defined by optimization conditions, so that the reorganized approximation sequence be convergent. In the present paper, the theory of perturbations is suggested for statistical systems in the absence of small interaction parameters. A new form is advanced for self-consistent conditions defining the optimal parameters for trial Green functions in iterating nonlinear propagator equations. Superharmonic, semiharmonic, and pseudoharmonic approximations for a molecular crystal are considered as examples.

研究动机与目标

• 为相互作用强度过大、无法使用传统小参数展开的统计系统发展微扰理论。
• 通过在试探格林函数上引入自洽条件，克服强关联系统中标准微扰理论的失效问题。
• 推导出超谐波、半谐波和伪谐波近似，系统性地包含非谐效应至任意阶次，无需围绕极小值进行泰勒展开。
• 提供一个适用于平衡与非平衡系统的框架，特别适用于具有强分子间相互作用的分子晶体。

提出的方法

• 以模型传播器和由逆传播器之差导出的核，表述精确格林函数的非线性Dyson方程。
• 通过在连续迭代中令可观测量平均值相等，引入自洽条件，确保试探参数最优。
• 对平衡系统使用虚时的傅里叶表示，并利用谱表示将条件转换至频率空间。
• 将格林函数展开为试探哈密顿量本征态的基，使自洽条件简化为涉及分布函数和频率位移的矩阵元之和。
• 通过选择谐振试探格林函数，并利用粒子数算符的自洽条件，将方法应用于分子晶体，推导出频率修正。
• 推导出三种近似：超谐波（精确包含非谐性）、半谐波（位移的二阶展开）和伪谐波（坐标和位移的双重展开），其精度依次提高。

实验结果

研究问题

• RQ1 当不存在小参数时，如何为强相互作用系统构建一致的微扰理论？
• RQ2 在缺乏小耦合常数的条件下，何种条件可确保试探格林函数参数最优？
• RQ3 如何在自能中系统性地包含非谐效应，而无需围绕极小值进行泰勒展开？
• RQ4 当使用粒子数或能量等可观测量作为约束时，自洽条件的结构是什么？
• RQ5 超谐波、半谐波和伪谐波近似在处理非谐性及其导致的频率修正方面有何不同？

主要发现

• 超谐波近似给出的频率修正为 $\omega_0 = \frac{4}{3}(\Phi_0 - u_0)$，其中 $\Phi_0$ 包含完整的非微扰势，确保所有阶次的非谐性精确。
• 半谐波近似给出 $\omega_0 = \frac{1}{3}\left|2(\Phi_h - u_0) + \sqrt{4(\Phi_h - u_0)^2 + 9\omega_h^2}\right|$，其中 $\Phi_h$ 和 $\omega_h$ 由势能的二阶展开导出。
• 伪谐波近似给出 $\omega_0 = \sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$，当势能仅依赖于相对坐标时成立，对称势下退化为 $\omega_0 = \omega_1\sqrt{2}$。
• 对于 $n=l=0$ 情况，伪谐波近似简化为 $\omega_0 = \sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$，其中 $\omega_1^2$ 和 $\omega_2^2$ 由势能在晶格点处的二阶导数定义。
• 通过将自洽条件除以总粒子数 $N$，该方法在热力学极限下保证了粒子数守恒。
• 自洽条件 (14) 简化为 $\sum_n \mathcal{O}_n n^2(\omega_n) e^{\beta \omega_n} \Delta_{nn} = 0$，通过平衡谱位移与热权重，确定最优试探频率。