[论文解读] Theory of Quantum Circuits with Abelian Symmetries

Iman Marvian|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 7

一句话总结

该论文分析在保持阿贝尔全局对称性的情况下，哪些对称单位可以由 k-局部门门实现，提出半通用性并证明与非阿贝尔情形不同的等价关系与约束。

ABSTRACT

Quantum circuits with gates (local unitaries) respecting a global symmetry have broad applications in quantum information science and related fields, such as condensed matter theory and quantum thermodynamics. However, despite their widespread use, fundamental properties of such circuits are not well-understood. Recently, it was found that generic unitaries respecting a global symmetry cannot be realized, even approximately, using gates that respect the same symmetry. This observation raises important open questions: What unitary transformations can be realized with k-local gates that respect a global symmetry? In other words, in the presence of a global symmetry, how does the locality of interactions constrain the possible time evolution of a composite system? In this work, we address these questions for the case of Abelian (commutative) symmetries and develop constructive methods for synthesizing circuits with such symmetries. Remarkably, as a corollary, we find that, while the locality of interactions still imposes additional constraints on realizable unitaries, certain restrictions observed in the case of non-Abelian symmetries do not apply to circuits with Abelian symmetries. For instance, in circuits with a general non-Abelian symmetry such as SU($d$), the unitary realized in a subspace with one irreducible representation (charge) of the symmetry dictates the realized unitaries in multiple other sectors with inequivalent representations of the symmetry. Furthermore, in certain sectors, rather than all unitaries respecting the symmetry, the realizable unitaries are the symplectic or orthogonal subgroups of this group. We prove that none of these restrictions appears in the case of Abelian symmetries. This result suggests that global non-Abelian symmetries may affect the thermalization of quantum systems in ways not possible under Abelian symmetries.

研究动机与目标

• 理解全局阿贝尔对称性如何约束复合量子系统中的时间演化。
• 描述在阿贝尔对称性下由 k-局部对称门生成的单位ary 群。
• 开发用于合成具有阿贝尔对称性的电路的构造方法。
• 阐明阿贝尔与非阿贝尔对称性约束对可实现单位ary 的区别。

提出的方法

• 定义具全球 G 不变表示在 n 个量子比特或量子比特组上的对称量子电路。
• 表明 k-局部 G 不变单位ary 产生一个李群，具有 I 型相位约束（定理 1）。
• 将半通用性引入为对称性代数半简单部分的通用性（式 4）。
• 证明半通用性、没有额外守恒观测量以及对电荷分量基的传递性之间的等价关系（定理 2′ 与 定理 2）。
• 提供一种构造性机制，通过单一 ancilla 量子比特提升半通用性到完整通用性（第六节）。
• 将阿贝尔结果与非阿贝尔情形进行对比，强调阿贝尔群不存在 III/IV 型约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 在遵循全局阿贝尔对称性的前提下，可以用 k-局部门实现哪些单位变换？
• RQ2 量子电路中的局部性约束在阿贝尔与非阿贝尔对称性之间是否不同？
• RQ3 在阿贝尔对称性下，k-局部对称单位是否可能半通用或通用，存在哪些额外观测量来约束它们？
• RQ4 在阿贝尔设置中，是否可以利用 ancilla 将半通用性提升为通用性？
• RQ5 在基态分量内的基元之间的传递性如何与可实现的单位相关？

主要发现

• 若且仅若满足没有额外守恒观测量且对总电荷等价的基元之间具传递性，k-局部 G 不变单位在阿贝尔 G 下是半通用的（定理 2′ 的等价关系）。
• 对于阿贝尔群，当 k≥2 时，对交换结构的对称性表明当总对称性希尔伯特空间分解为容许在子子空间上作用的 SU(…) 的不变块时，半通用性成立（定理 3）。
• 在阿贝尔情形，唯一的阻碍是 I 型（相对相位约束）和 II 型（额外守恒观测量），但在“无额外守恒观测量”条件下，II 型可被规避（定理 2）。
• 有限阿贝尔群保证对 k≥min(|G|, 2) 的半通用性（推论 4）。
• 单一 ancilla 量子比特足以将阿贝尔对称性的半通用性提升为通用性（第六节）。
• 非阿贝尔对称性可能施加额外的 III/IV 型约束以及跨分区的相互依赖性，这与阿贝尔情形不同（第四节讨论）。