[论文解读] Theory of Truncation Resonances in Continuum Rod-based Phononic Crystals with Generally Asymmetric Unit Cells

Hasan B. Al Ba’ba’a, Carson L. Willey+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2022

Acoustic Wave Phenomena Research被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于传递矩阵法的解析框架，用于预测和调节具有非对称单元结构的有限连续杆基声子晶体中的截断共振。研究建立表明，截断共振——即禁带内局域化的振动——源于边界条件和单元结构对称性，闭式解显示，自由-自由与固支-固支系统在每个禁带中最多存在一个共振，而固支-自由/自由-固支系统可能容纳最多两个共振，所有共振均可通过对称性参数δ以及材料阻抗对比度α和β实现调控。

ABSTRACT

Phononic crystals exhibit Bragg bandgaps, frequency regions within which wave propagation is forbidden. In solid continua, bandgaps are the outcome of destructive interferences resulting from periodically alternating layers. Under certain conditions, natural frequencies emerge within these bandgaps in the form of high-amplitude localized vibrations near a structural boundary, referred to as truncation resonances. In this paper, we investigate the vibrational spectrum of finite phononic crystals which take the form of a one-dimensional rod, and explain the factors that contribute to the origination of truncation resonances. By identifying a unit cell symmetry parameter, we define a family of finite phononic rods which share the same dispersion relation, yet distinct truncated forms. A transfer matrix method is utilized to derive closed-form expressions of the characteristic equations governing the natural frequencies of the finite system and decipher the truncation resonances emerging across different boundary conditions. The analysis establishes concrete connections between the localized vibrations associated with a truncation resonance, boundary conditions, and the overall configuration of the truncated chain as dictated by unit cell choice. The study provides tools to predict, tune, and selectively design truncation resonances, to meet the demands of various applications that require and uniquely benefit from such truncation resonances.

研究动机与目标

• 理解有限连续杆基声子晶体中非对称单元结构截断共振的起源。
• 识别决定这些共振出现与局域化的结构与材料参数。
• 建立一种超越无限系统布洛赫波理论的预测性解析模型。
• 建立边界条件、单元结构对称性与截断共振数量及频率之间的关联。

提出的方法

• 采用传递矩阵法（TMM）推导有限声子杆中固有频率的特征方程。
• 定义单元结构对称性参数δ，以生成具有相同色散关系但不同边界构型的截断杆系列。
• 推导描述截断共振的频率响应函数与特征方程的闭式表达式。
• 利用半无限声子晶体构型，解析证明不同边界条件下截断共振的共存性。
• 引入频率对比度α与阻抗对比度β，参数化单元结构特性，并分析其对共振行为的影响。
• 求解超越方程（式50与式51），以预测共振的起始位置及自由-自由与固支-固支情况下的共振交点。

实验结果

研究问题

• RQ1 是什么因素决定了有限声子杆中非对称单元结构截断共振的存在性与数量？
• RQ2 边界条件（自由-自由、固支-固支、固支-自由、自由-固支）如何影响截断共振的频率与局域化特性？
• RQ3 单元结构对称性参数δ在调节截断共振频率与模式方面发挥何种作用？
• RQ4 频率对比度α与阻抗对比度β如何影响截断共振的振荡行为与振幅？
• RQ5 能否通过统一框架在不同边界条件下实现截断共振的解析关联？

主要发现

• 在自由-自由与固支-固支构型中，截断共振精确对应于相同边界条件下单个单元结构的固有频率，从而可通过单元结构设计实现直接调控。
• 对于非对称单元结构（δ ≠ 0），截断共振可在所有标准边界条件下出现，且在自由-自由与固支-固支情况下，每个禁带中最多存在一个共振。
• 在固支-自由与自由-固支构型中，根据δ、α与β的取值，每个禁带内可能产生最多两个截断共振。
• 截断共振曲线随δ变化的振荡行为由式（51）的第一个解决定，且随着α变得更负，振荡频率降低。
• 共振振幅波动的上限由禁带宽度决定，且强烈依赖于阻抗对比度β，而振荡频率与β无关。
• β的符号仅交换自由-自由与固支-固支共振曲线，而不改变整体共振行为，这是由于控制方程具有对称性。