[论文解读] There are More Than 2**(n/17) n-Letter Ternary Square-Free Words

Doron Zeilberger|ArXiv.org|Sep 23, 1998

semigroups and automata theory参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文证明了 n 字符的三元无平方词的数量超过 2^(n/17)，为三元无平方词的连通常数建立了新的下界。通过一种精细化的组合构造，多隆·齐拉伯格改进了布林克胡伊斯和布兰德贝格此前的界限，这是自 1983 年以来的首次重大进展，并展示了比以往已知更高的底数的指数增长。

ABSTRACT

We prove that the `connective constant' for ternary square-free words is at least $2^{1/17} = 1.0416 ... $, improving on Brinkhuis and Brandenburg's lower bounds of $2^{1/24}=1.0293 ...$ and $2^{1/22}=1.032 ...$ respectively. This is the first improvement since 1983.

研究动机与目标

• 建立 n 字符三元无平方词数量的更强下界。
• 改进布林克胡伊斯和布兰德贝格此前给出的连通常数估计。
• 通过提供更紧致的指数下界，解决组合词论中长期存在的开放问题。
• 证明三元无平方词的增长率超过每字符 2^(1/17)。

提出的方法

• 作者采用构造性方法生成大量三元无平方词。
• 设计一种特定的替换系统，以确保无平方性的同时最大化词的数量。
• 使用递归计数技术分析构造，以界定有效词的数量。
• 该方法依赖于识别并利用三元字母表中无平方词的结构特性。
• 通过组合论证证明，此类词的数量至少以 2^(n/17) 的速度增长。
• 结果通过新颖地应用避免禁止平方模式的递归替换规则推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 n 字符三元无平方词数量的最佳可能下界是什么？
• RQ2 三元无平方词的连通常数能否超越先前的估计？
• RQ3 是否存在一种构造性方法，能为大的 n 生成超过 2^(n/24) 个此类词？
• RQ4 三元无平方词的增长率是否存在高于 2^(1/22) 的更高指数底数？
• RQ5 是否有一种新的组合构造能够超越 1983 年代的界限？

主要发现

• n 字符三元无平方词的数量超过 2^(n/17)，确立了新的下界。
• 三元无平方词的连通常数至少为 2^(1/17) ≈ 1.0416。
• 该结果优于布林克胡伊斯的界限 2^(1/24) ≈ 1.0293 和布兰德贝格的界限 2^(1/22) ≈ 1.032。
• 该改进是自 1983 年以来在此问题上的首次进展。
• 该构造表明，此类词的增长率显著高于此前建立的水平。
• 该方法提供了一种具体且明确的途径，可生成具有指数增长的大规模无平方词族。