[论文解读] There are Significantly More Nonnegative Polynomials than Sums of Squares

Grigoriy Blekherman|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2003

Point processes and geometric inequalities参考文献 6被引用 6

一句话总结

该论文表明，对于固定的偶数次 $2k \geq 4$，当 $n \to \infty$ 时，$n$ 个变量的非负齐次多项式数量远远超过平方和的数量。通过在与 $r^{2k}$ 正交的 $2k$ 次型空间中，对非负多项式锥与平方和锥的紧致基的体积比进行分析，证明了其体积比的倒数次幂随 $n$ 增长为 $n^{(k-1)/2}$，表明在高维空间中平方和是渐近可忽略的。

ABSTRACT

We investigate the quantitative relationship between nonnegative polynomials and sums of squares of polynomials. We show that if the degree is fixed and the number of variables grows then there are significantly more nonnegative polynomials than sums of squares. More specifically, we take compact bases of the cone of nonnegative polynomials and the cone of sums of squares and derive bounds for the volumes of the bases. If the degree is greater than 2 then we show that the ratio of the volumes of the bases, raised to the power reciprocal to the ambient dimension, tends to 0 as the number of variables tends to infinity.

研究动机与目标

• 解决定量平方和问题：非负多项式是否在数量上显著多于平方和？
• 量化高维空间中非负多项式锥与平方和锥的相对大小。
• 证明当变量数 $n$ 较大且次数 $2k$ 固定时，平方和不构成非负多项式的一个恒定比例。
• 为 $P_{n,2k}$ 空间中非负多项式锥与平方和锥的紧致基提供渐近紧致的体积估计。

提出的方法

• 通过平移 $r^{2k} = (x_1^2 + \cdots + x_n^2)^k$，分别定义非负多项式锥与平方和锥的截面 $\widetilde{C}$ 和 $\widetilde{Sq}$ 为紧致凸体。
• 利用 $L^p$-范数与内积 $\langle f,g \rangle = \int_{S^{n-1}} fg \, d\sigma$，在球面上积分为零的 $2k$ 次型空间 $M_{n,2k}$ 上定义几何结构。
• 利用支撑函数 $G_C(f) = |\min_{v \in S^{n-1}} f(v)|$ 与极坐标积分，建立 $\widetilde{C}$ 体积的下界。
• 通过有界平均宽度 $W_{\widetilde{Sq}}$ 与对偶范数 $||f||_{sq} = \max_{g \in S_{P_{n,k}}} |\langle f, g^2 \rangle|$，推导 $\widetilde{Sq}$ 体积的上界，并应用 Hölder 不等式与 Barvinok 不等式。
• 利用泛函分析结果，包括 Duĭnaĭkoetxea 不等式 $||g^2||_2 \leq 4^{2k}$ 与 Gamma 函数渐近展开，对二次型 $H_f(g) = \langle f, g^2 \rangle$ 的 $L^{2D_{n,k}}$ 范数进行有界。
• 应用 Urysohn 不等式将体积比与平均宽度关联，从而得出最终的体积界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高维空间中，非负多项式是否显著多于平方和？
• RQ2 当变量数 $n$ 增加时，平方和锥在非负多项式锥中的渐近相对体积是多少？
• RQ3 当 $n \to \infty$ 且 $k \geq 2$ 固定时，非负多项式与平方和的体积比是否保持远离零？
• RQ4 在高维空间中，非负多项式锥与平方和锥的几何结构如何比较？
• RQ5 能否通过齐次多项式空间中的体积比来量化平方和的稀少性？

主要发现

• 体积比 $\left(\frac{\text{Vol}\,\widetilde{C}}{\text{Vol}\,\widetilde{Sq}}\right)^{1/D_M}$ 随 $c(k) n^{(k-1)/2}$ 增长，其中 $c(k)$ 仅为 $k$ 的函数，证明当 $n \to \infty$ 且 $k \geq 2$ 固定时，非负多项式远多于平方和。
• 当 $k=1$ 时，$\widetilde{C} = \widetilde{Sq}$，因此比值为常数；但当 $k \geq 2$ 时，该比值趋于无穷，表明平方和是渐近可忽略的。
• 对 $\widetilde{C}$ 的归一化体积的下界为 $\frac{1}{2\sqrt{4k+2}} n^{-1/2}$，表明在高维空间中非负多项式锥是巨大的。
• 对 $\widetilde{Sq}$ 的归一化体积的上界为 $\frac{4^{2k}(2k)!\sqrt{24}}{k!} n^{-k/2}$，当 $k \geq 2$ 时随 $n$ 多项式衰减，表明平方和在高维空间中极为稀少。
• 该结果意味着，无法表示为平方和的非负多项式并非病态，而是在高维中典型的存在，这与低维情形的直觉相矛盾。
• 计算复杂性含义是：在高维空间中，将非负性检测放松为平方和检测，无法良好逼近完整锥体，因为平方和集合相对于完整锥体的体积可忽略不计。