[论文解读] Thermal conductivity for stochastic energy exchange models

Makiko Sasada|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2016

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文建立了随机能量交换模型中热导率与静态可观测量相等的必要且充分条件，证明该等式成立当且仅当模型满足梯度条件。研究显示，Gaspard-Gilbert模型不满足此条件，从而否定了其工作中关于普适性的关键主张。

ABSTRACT

We consider a class of stochastic models for energy transport and study relations between the thermal conductivity and some static observables, such as the static conductivity, which is defined as the contribution of static correlations in Green-Kubo formula. The class of models is a generalization of two specific models derived by Gaspard and Gilbert as mesoscopic dynamics of energies for two-dimensional and three-dimensional locally confined hard-discs. They claim some equalities hold between the thermal conductivity and several static observables and also conjecture that these equations are universal in the sense that they hold for mesoscopic dynamics of energies for confined particles interacting through hard-core collisions. In this paper, we give sufficient and necessary conditions for these equalities to hold in the class we introduce. In particular, we prove that the equality between the thermal conductivity and other static observables holds if and only if the model obeys the gradient condition. Since the gradient condition does not hold for models derived by Gaspard and Gilbert, our result implies a part of their claim is incorrect.

研究动机与目标

• 确定随机能量交换模型中热导率等于静态可观测量的精确条件。
• 评估Gaspard与Gilbert提出的观点，即某些热导率与静态可观测量之间的等式在介观能量动力学中具有普适性。
• 分析梯度条件是否为热导率与静态可观测量相等的必要且充分条件。
• 在梯度条件背景下评估Gaspard-Gilbert模型（GG模型）及其所声称的普适等式。
• 阐明细致平衡与对称性在能量交换核结构中的作用，及其对输运性质的影响。

提出的方法

• 推导一维晶格上具有相邻位点间随机能量传递的能量交换动力学的主方程。
• 引入一类具有交换速率 W(ε_a, ε_b | ε_a−η, ε_b+η) 的广义随机能量交换模型，并假设满足细致平衡与对称性性质。
• 应用Green-Kubo公式，将热导率表示为能量流时间相关函数的表达式。
• 定义诸如静态电导率等静态可观测量，并将其与平衡测度及交换核关联起来。
• 使用 d 维单元的平衡测度 ν^T_eq(ε) = ε^{d/2−1} exp(−ε/T) / (T^{d/2} Γ(d/2)) 来计算期望值。
• 将问题简化为对 α = ε_a/(ε_a+ε_b) 和 β ∈ [0,1] 的积分，引入变换核 W̃(α,β) = W̄(α,β)(α(1−α))^{d/2−1} 以利用对称性与不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，随机能量交换模型中的热导率等于静态电导率？
• RQ2 热导率与静态可观测量之间的等式是否在受限硬粒子系统的介观能量动力学中具有普适性？
• RQ3 Gaspard-Gilbert针对二维与三维硬盘/硬球系统的模型是否满足此类等式所必需的梯度条件？
• RQ4 交换核的细致平衡与对称性在决定输运性质方面起何种作用？
• RQ5 热导率与静态可观测量之间的等式能否仅通过核结构与平衡测度来表征？

主要发现

• 热导率与静态可观测量相等当且仅当模型满足梯度条件。
• Gaspard-Gilbert模型不满足梯度条件，意味着其声称的普适等式不成立。
• 静态电导率与热导率仅在电流算符为局部函数的梯度时才相等，而此条件在GG模型中不成立。
• 证明依赖于核 W̃(α,β) 的对称性，表明在细致平衡下有 ∫∫(α−β)W̃(α,β)dβdα = 0。
• 条件 κ_f = κ_1 等价于 ∫∫ W̃(α,β)dβdα = (d+3/2)(d+1/2) ∫∫ α(α−β)W̃(α,β)dβdα，而此式在GG模型中不成立。
• 分析确认，GG模型的交换核不产生 κ = κ_static，与他们的普适性主张相矛盾。