[论文解读] Thermal States of Anyonic Systems

S. Iblisdir, David Pérez-Garcı́a+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2008

Quantum many-body systems参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文使用拓扑互信息 $I_{\mathrm{topo}}$ 作为热序参数，研究了二维任何子系统中拓扑序的热稳定性。建立了系统尺寸与温度之间的标度律，表明 $I_{\mathrm{topo}}$ 取决于热分布与任意子量子维数诱导的拓扑荷分布之间的 Kullback-Leibler 散度，且非阿贝尔模型如 $D(S_3)$ 展现出与任意子码相似的行为。

ABSTRACT

A study of the thermal properties of two-dimensional topological lattice models is presented. This work is relevant to assess the usefulness of these systems as a quantum memory. For our purposes, we use the topological mutual information $I_{\mathrm{topo}}$ as a "topological order parameter". For Abelian models, we show how $I_{\mathrm{topo}}$ depends on the thermal topological charge probability distribution. More generally, we present a conjecture that $I_{\mathrm{topo}}$ can (asymptotically) be written as a Kullback-Leitner distance between this probability distribution and that induced by the quantum dimensions of the model at hand. We also explain why $I_{\mathrm{topo}}$ is more suitable for our purposes than the more familiar entanglement entropy $S_{\mathrm{topo}}$. A scaling law, encoding the interplay of volume and temperature effects, as well as different limit procedures, are derived in detail. A non-Abelian model is next analysed and similar results are found. Finally, we also consider, in the case of a one-plaquette toric code, an environment model giving rise to a simulation of thermal effects in time.

研究动机与目标

• 评估拓扑格点模型在热噪声下作为量子存储器的可行性。
• 确立 $I_{\mathrm{topo}}$ 作为有限温度下检测拓扑序的优越序参数，优于纠缠熵 $S_{\mathrm{topo}}$。
• 推导一个标度律，量化系统尺寸、温度与拓扑序持久性之间的相互作用。
• 将分析扩展至非阿贝尔模型，特别是 $D(S_3)$，并确认普遍的标度行为。
• 使用开放量子系统模型模拟单晶胞任意子码中的热效应。

提出的方法

• 使用拓扑互信息 $I_{\mathrm{topo}}$ 作为热序参数，其源自 Kitaev-Preskill 和 Levin-Wen 的广义拓扑熵。
• 依赖 Kullback-Leibler 散度（Kullback-Leibler 距离）将 $I_{\mathrm{topo}}$ 与任意子的热分布及任意子的量子维数联系起来。
• 通过精确对角化和基态的群论分解，将形式化应用于阿贝尔（任意子码）和非阿贝尔（$D(S_3)$）任意子模型。
• 利用商群 $\mathbb{G}_{AB}/\mathbb{G}_{\mathrm{d}}$ 的 Schmidt 分解计算 $S(\rho_A)$，从而得到 $I_{\mathrm{topo}}$。
• 使用与热环境耦合的单晶胞任意子码模型，模拟热化动力学及 $I_{\mathrm{topo}}$ 随时间的演化。
• 运用群论引理证明基态的双正交性，确保 Schmidt 分解在熵计算中的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在拓扑格点模型中，拓扑互信息 $I_{\mathrm{topo}}$ 如何随温度和系统尺寸变化？
• RQ2 能否将 $I_{\mathrm{topo}}$ 的渐近形式表达为热拓扑荷分布与任意子量子维数分布之间 Kullback-Leibler 散度？
• RQ3 为何 $I_{\mathrm{topo}}$ 比 $S_{\mathrm{topo}}$ 更适合作为有限温度下检测拓扑序的序参数？
• RQ4 $I_{\mathrm{topo}}$ 在温度和尺寸变化下的标度行为是否适用于非阿贝尔模型如 $D(S_3)$？
• RQ5 能否使用开放量子系统方法有效模拟小系统（单晶胞任意子码）中的热效应？

主要发现

• 对于任意子码，$I_{\mathrm{topo}}$ 仅在有限系统和有限温度下非零，且在某一温度区间内保持恒定，随后衰减至零。
• 标度律表明，为在增大系统尺寸时维持拓扑序，必须按比例降低温度以补偿体积效应。
• 渐近形式下，$I_{\mathrm{topo}}$ 由热拓扑荷分布与由量子维数定义的分布之间的 Kullback-Leibler 散度给出。
• 对于非阿贝尔 $D(S_3)$ 模型，$I_{\mathrm{topo}}$ 在尺寸和温度上的定性与定量依赖关系与任意子码相同，证实了标度的普遍性。
• $D(S_3)$ 模型的基态具有 Schmidt 分解，其中 $S(\rho_A) = \log_2 |S_3| (N_{\partial A} - 1)$，$N_{\partial A}$ 为边界顶点数。
• 使用主方程方法可实现对单晶胞任意子码中热效应的模拟，从而实现对 $I_{\mathrm{topo}}$ 衰减的时间分辨研究。