[论文解读] Thermalisation for Stochastic Small Random Perturbations of Hyperbolic Dynamical Systems

Gerardo Barrera, Milton Jara|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文研究了在原点具有唯一双曲吸引子的双曲动力系统的小随机扰动。研究发现，解表现出截断现象：在短暂的时间窗口后，到平衡的距离从最大值突然降至接近零，随后以指数速度快速收敛，并确定了收敛曲线趋于通用函数的条件。

ABSTRACT

We consider an ordinary differential equation with a unique hyperbolic attractor at origin. Now we add a small random perturbation to this differential equation. Under general conditions, as times goes by the solution of this stochastic differential equation converges to an equilibrium distribution that is well approximated by a Gaussian random variable of standard deviation proportional to the strength of the perturbation. In fact this convergence, for each fixed perturbation, is exponentially fast. We show that the convergence is actually abrupt: in a time windows of small size compared to the natural time scale of the process, the distance to equilibrium drops from its maximal possible value to near zero, and only after this time window the convergence is exponentially fast. This is what is known as the cut-off phenomenon in the context of Markov chain of increasing complexity. Moreover we are able to give general conditions to prove convergence of the distance to equilibrium to a universal function, a fact known as profile cut-off.

研究动机与目标

• 理解小随机扰动下双曲动力系统的长期行为。
• 研究向平衡态收敛是否表现出截断现象，即从非平衡态到平衡态的剧烈转变。
• 识别在何种一般条件下，向平衡态的收敛曲线趋于与系统细节无关的通用函数。
• 在瞬态时间窗口之后建立指数收敛到平衡态的结论，且该窗口大小远小于过程的自然时间尺度。

提出的方法

• 分析由原点处具有唯一双曲吸引子的确定性常微分方程导出的随机微分方程。
• 对噪声施加一般条件，以确保解收敛到标准差与扰动强度成正比的高斯平衡分布。
• 运用大偏差理论和耦合技术分析到平衡距离的时间演化。
• 识别出一个相对于自然时间尺度极小的时间窗口，在此期间到平衡的距离从最大值骤降至接近零。
• 证明在此窗口之后，向平衡态的收敛变为指数快速。
• 推导出收敛曲线——即随时间变化的距离测量——收敛到一个通用函数的条件，该现象称为轮廓截断（profile cut-off）。

实验结果

研究问题

• RQ1 双曲系统的随机扰动是否表现出向平衡态的剧烈转变，即是否存在截断现象？
• RQ2 是否可将到平衡距离骤降的时间窗口表征为远小于系统自然时间尺度？
• RQ3 在何种一般条件下，到平衡距离的收敛曲线会收敛到一个通用函数？
• RQ4 扰动系统的平衡分布是否可由标准差与扰动强度成正比的高斯分布良好近似？
• RQ5 在初始距离骤降之后，为何向平衡态的指数收敛会显现？

主要发现

• 随机微分方程的解收敛到一个平衡分布，该分布可由标准差与扰动强度成正比的高斯随机变量良好近似。
• 收敛过程分为两个阶段：初始阶段在远小于自然时间尺度的时间窗口内，到平衡的距离骤然下降；随后进入指数快速收敛阶段。
• 观察到截断现象：到平衡的距离在极窄的时间区间内从最大值急剧降至接近零。
• 识别出一般条件，使得到平衡距离的收敛曲线收敛到一个通用函数，从而确立了轮廓截断。
• 截断窗口之后的收敛速率是指数快速的，证实了在小随机扰动下平衡态的稳定性。
• 结果在噪声的一般条件下成立，因此可广泛适用于一大类具有小随机扰动的双曲系统。