[论文解读] Thermalisation of a quantum system from first principles

Grégoire Ithier, Florent Benaych-Georges|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文表明，热化在量子系统中可从大封闭复合系统的幺正时间演化中普遍涌现，而无需假设环境的初始热化。通过测度集中性与原始哈密顿量本征态和屏蔽哈密顿量本征态之间的重叠统计，推导出广义的规范系综配分函数，并表明在长时间极限下，子系统的约化密度矩阵收敛至规范态，典型宏观条件下可恢复玻尔兹曼分布。

ABSTRACT

Why is thermalisation a universal phenomenon? How does a quantum system reach thermodynamical equilibrium? These questions are not new, dating even from the very birth of quantum theory and have been the subject of a renewed interest over the two last decades (see for instance the review in Eisert et al, Nature Physics 2015). In this work, we propose a universal model demonstrating that thermalisation of a small quantum system is an emergent property of the unitary evolution under a Schrödinger equation of a larger composite system, whose initial state can be arbitrary. We show that the origin of universality lies in the phenomenon of 'measure concentration', which provides self-averaging properties for the reduced density matrix characterizing the state of the small subsystem. Using our framework, we focus on the asymptotic state at long times and consider its stationary properties. In typical macroscopic conditions, we recover the canonical state and the Boltzmann distribution well known from statistical thermodynamics. This findings lead us to propose an alternative and more general definition of the canonical partition function which also allow us to describe non thermal stationary states.

研究动机与目标

• 从第一性原理推导量子热化，无需假设环境的初始热化。
• 通过测度集中性替代遍历性和粗粒化，解决量子统计力学中的基础性问题。
• 推导一个广义的规范系综配分函数，以描述热态与非热态的定态。
• 证明子系统的约化密度矩阵由于高维希尔伯特空间中的典型性而自平均为规范态。

提出的方法

• 将一个小量子系统 S 与环境 E 耦合，建模为由总哈密顿量 H = H_s + H_e + W 控制的封闭复合系统。
• 使用幺正时间演化 U_t = exp(-iHt/ħ) 描述总密度矩阵 ϱ(t) 的时间演化。
• 计算约化密度矩阵 ϱ_s(t) = Tr_E[ϱ(t)] 以描述子系统的状态。
• 应用测度集中性，表明 ϱ_s(t) 集中于与初始条件无关的典型行为。
• 分析原始哈密顿量 (H_s + H_e) 与屏蔽哈密顿量 (H_s + H_e + W) 的本征态之间的重叠统计，以推导自平均性质。
• 从环境与复合系统的态密度之比推导出广义的规范系综配分函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设环境初始热化的情况下，从幺正演化推导出量子系统的热化？
• RQ2 测度集中性在子系统约化密度矩阵典型性涌现中的作用是什么？
• RQ3 在具有任意初始条件的封闭量子系统中，如何从第一性原理推导出规范系综？
• RQ4 包含非热态定态的规范系综配分函数的普遍形式是什么？
• RQ5 环境与复合系统的态密度之比如何决定子系统的定态？

主要发现

• 由于测度集中性，子系统的约化密度矩阵 ϱ_s(t) 集中于一个典型值，确保在高维希尔伯特空间中的自平均性。
• ϱ_s 相对于相互作用 W 的梯度范数被 √(2τ² dim H_s) 有界，证明了稳定性和集中性。
• 从环境与复合系统的态密度之比推导出广义的规范系综配分函数。
• 在典型宏观条件下，子系统的定态收敛至规范系综，恢复玻尔兹曼分布。
• 该推导对复合系统的任意初始态均成立，无需假设环境的热化。
• 该框架可通过广义配分函数描述热态与非热态定态。