[论文解读] Thermalization of isolated quantum systems

Sergei Khlebnikov, Martı́n Kruczenski|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2013

Quantum many-body systems参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文通过数值方法检验了孤立量子系统中的本征态热化假说（ETH），表明热化发生在低维Krylov子空间中，而非整个希尔伯特空间。研究证明，在二维晶格上的强关联任意子系统中，ETH在该子空间中成立，并将热化行为的出现与纠缠熵的增长联系起来，对量子引力和黑洞物理具有启示意义。

ABSTRACT

Understanding the evolution towards thermal equilibrium of an isolated quantum system is at the foundation of statistical mechanics and a subject of interest in such diverse areas as cold atom physics or the quantum mechanics of black holes. Since a pure state can never evolve into a thermal density matrix, the Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH) has been put forward by Deutsch and Srednicki as a way to explain this apparent thermalization, similarly to what the ergodic theorem does in classical mechanics. In this paper this hypothesis is tested numerically. First, it is observed that thermalization happens in a subspace of states (the Krylov subspace) with dimension much smaller than that of the total Hilbert space. We check numerically the validity of ETH in such a subspace, for a system of hard core bosons on a two-dimensional lattice. We then discuss how well the eigenstates of the Hamiltonian projected on the Krylov subspace represent the true eigenstates. This discussion is aided by bringing the projected Hamiltonian to the tridiagonal form and interpreting it as an Anderson localization problem for a finite one-dimensional chain. We also consider thermalization of a subsystem and argue that generation of a large entanglement entropy can lead to a thermal density matrix for the subsystem well before the whole system thermalizes. Finally, we comment on possible implications of ETH in quantum gravity.

研究动机与目标

• 研究孤立量子系统热化发生的条件，特别是本征态热化假说（ETH）是否在有限子空间中成立。
• 确定热化是否发生在低维Krylov子空间中，而非整个希尔伯特空间，从而降低计算复杂度。
• 考察Krylov子空间上投影哈密顿量与有限一维链中安德森局域化的关系。
• 探究纠缠熵在子系统达到热平衡之前驱动热化的作用。
• 评估ETH对量子引力的影响，特别是在黑洞微观态与经典度量的语境下。

提出的方法

• 数值模拟二维晶格上强关联任意子系统的时间演化，初始态为窄能级叠加态。
• 通过哈密顿算符重复作用于初始态，构建Krylov子空间，显著降低希尔伯特空间维度。
• 将哈密顿算符与可观测量算符投影到Krylov子空间，分析矩阵元以检验ETH条件：能量依赖的对角元平滑，非对角元较小。
• 将投影哈密顿量转化为三对角形式，将其建模为一维安德森局域化问题。
• 计算子系统间二分纠缠熵 $ S_{AB}(t) $ 随时间的变化，以追踪热化发生的时机。
• 将可观测量的平均值时间演化与ETH预测的热平衡值进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 本征态热化假说（ETH）是否在孤立量子系统的Krylov子空间中成立，而非整个希尔伯特空间？
• RQ2 在热化过程中，子系统间的纠缠熵如何演化？它是否能在全局平衡之前预示子系统热化？
• RQ3 Krylov子空间上投影哈密顿量在多大程度上类似于一维安德森局域化问题？
• RQ4 ETH能否解释从量子微观态中涌现出经典黑洞性质（如度量）？
• RQ5 若ETH意味着具有相近能量的所有微观态对‘热化’算符的期望值相同，则度量在量子引力中的作用是什么？

主要发现

• 热化发生在远小于全希尔伯特空间维数的Krylov子空间中，使得ETH的高效数值检验成为可能。
• 在二维晶格上的强关联任意子系统中，ETH在Krylov子空间中得到数值验证，可观测量的对角矩阵元表现出对能量的平滑依赖。
• Krylov子空间中可观测量的非对角矩阵元足够小，确保时间平均期望值收敛至与初始态无关的热平衡值。
• 纠缠熵 $ S_{AB}(t) $ 初期呈二次增长，形式为 $ S_{AB}(t) \simeq -(Δ E)^2 t^2 \ln(t^2/t_0^2) $，随后线性增长，在接近全局热平衡前达到热力学极限，之后略有下降。
• 子系统热化可在全局热化之前发生，由纠缠熵的增长驱动，表明纠缠是热化行为的关键前兆。
• ETH表明，黑洞度量——如同其他热化算符——在所有能量相近的微观态中应具有相同的期望值，暗示经典度量是涌现的、统计性属性，而非基本属性。