[论文解读] Thermalization/Relaxation in integrable and free field theories: an Operator Thermalization Hypothesis

Philippe Sabella-Garnier, Koenraad Schalm+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2019

Quantum many-body systems被引用 5

一句话总结

本文提出了算符热化假说，解释了在自由或可积量子场论中，某些复合算符如何在存在守恒荷的情况下仍能实现热化。通过分析滞后两点半体函数，作者表明当算符的矩阵元满足特定衰减条件时，热化现象会发生，从而调和了诸如临界横场伊辛模型等系统中的明显矛盾，其中顶点算符在关联函数中表现出指数衰减。

ABSTRACT

Free or integrable theories are usually considered to be too constrained to thermalize. For example, the retarded two-point function of a free field, even in a thermal state, does not decay to zero at long times. On the other hand, the magnetic susceptibility of the critical transverse field Ising is known to thermalize, even though that theory can be mapped by a Jordan-Wigner transformation to that of free fermions. We reconcile these two statements by clarifying under which conditions conserved charges can prevent relaxation at the level of linear response and how such obstruction can be overcome. In particular, we give a necessary condition for the decay of retarded Green's functions. We give explicit examples of composite operators in free theories that nevertheless satisfy that condition and therefore do thermalize. We call this phenomenon the Operator Thermalization Hypothesis as a converse to the Eigenstate Thermalization Hypothesis.

研究动机与目标

• 调和自由或可积量子场论中看似矛盾的现象：尽管存在无穷多个守恒荷，系统在线性响应下仍能实现热化。
• 确定滞后格林函数在无散射情况下呈指数衰减的必要条件，从而标志热化。
• 证明某些复合算符——如二维共形场论中的顶点算符，或横场伊辛模型中的磁化率——即使在理论本身为自由/费米子本性的情况下，也能实现热化。
• 提出与本征态热化假说（ETH）相反的假设，称为算符热化假说，适用于具有守恒荷的系统。

提出的方法

• 分析在热态下厄米算符 𝒪 的滞后两点半体函数，定义为 GR(x−x′,t−t′)=−iΘ(t−t′)⟨[𝒪(x,t),𝒪(x′,t′)]⟩β。
• 应用条件：滞后格林函数在长时间下呈指数衰减，定义为热化，即系统‘遗忘’初始扰动。
• 使用相干态技巧和 Campbell-Hausdorff 公式，计算自由玻色共形场论中顶点算符的矩阵元，特别关注 ⟨:e^{−iξϕ(x,t)+iξϕ(0,0)}:⟩β。
• 对场 ϕ 进行模式展开，并利用恒等式 1/(e^{βx}−1)=∑_{m=1}^∞ e^{−βxm} 计算热期望值。
• 对模式求和并取 L→∞ 极限，以双曲函数形式导出关联函数的长时间行为。
• 推导出最终结果：⟨:e^{−iξϕ(x,t)+iξϕ(0,0)}:⟩β ∼ [π(t−x)/β sinh(π(t−x)/β)]^{ξ²/4π} × [π(t+x)/β sinh(π(t+x)/β)]^{ξ²/4π}，表明在 |t| 较大时呈指数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自由或可积场论中，即使存在守恒荷，滞后格林函数在何种条件下可呈指数衰减？
• RQ2 为何临界横场伊辛模型中的磁化率会热化，尽管该模型可映射为自由费米子？
• RQ3 自由场论中的复合算符能否表现出热化行为？若能，其机制是什么？
• RQ4 算符热化假说与本征态热化假说（ETH）有何不同，又如何互补？
• RQ5 算符结构（如顶点算符）在非相互作用系统中如何促成热化？

主要发现

• 二维自由玻色共形场论中顶点算符的滞后两点半体函数在长时间下呈指数衰减，表明热化发生。
• 关联函数的长时间行为由涉及 sinh(π(t±x)/β) 的项的乘积给出，当 |t|→∞ 时呈指数衰减。
• 临界横场伊辛模型中磁化率的热化，是由于其对应于满足热化衰减条件的复合算符。
• 热化的条件并非守恒荷的缺失，而是算符在能级基下的矩阵元结构。
• 算符热化假说为可积系统中热化提供了一种机制，其中传统观念认为无弛豫性会因复合算符结构而失效。
• 推导表明，即使在自由理论中，某些算符也能通过相位退相干而遗忘初始条件，导致关联函数呈指数衰减。