[论文解读] Thermo-visco-elaticity for models with growth conditions in Orlicz spaces

Filip Z. Klawe|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文在广义Orlicz空间中建立了具有温度依赖性粘弹性行为的拟静态热-粘弹性模型弱解的存在性，通过依赖于$x$的$N$-函数刻画非均匀材料特性。分析方法结合了模收敛性、单调性方法与Young测度理论，以处理非标准增长条件，扩展了以往在Lebesgue空间中的结果。

ABSTRACT

We study a quasi-static evolution of thermo-visco-elastic model. We act with external forces on non-homogeneous material body, which is a subject of our research. Such action may cause deformation of this body and may change its temperature. Mechanical part of the model contains two kinds of deformation: elastic and visco-elastic. Mechanical deformation is coupled with the temperature and they may influence each other. Since constitutive function on evolution of visco-elastic deformation depends on temperature, the visco-elastic properties of material also depend on temperature. We consider the thermodynamically complete model related to hardening rule with growth condition in generalized Orlicz spaces. We provide the proof of existence of solutions for such class of models.

研究动机与目标

• 将热-粘弹性模型的解的存在性理论从Lebesgue空间推广至具有依赖于$x$的$N$-函数的广义Orlicz空间。
• 对粘弹性响应依赖于空间变化增长条件的非均匀材料进行严格建模。
• 在热力学一致框架下，纳入温度依赖的本构定律以描述粘弹性应变演化。
• 在不假设$N$-函数增长的上下界条件下，建立一般增长条件下弱解的存在性。
• 通过允许增长速率超过$L^p$空间的范围，推广Norton-Hoff模型，使其趋近于Prandtl-Reuss行为。

提出的方法

• 构建一个拟静态热-粘弹性系统，耦合动量平衡方程、能量平衡方程与温度依赖的本构定律下的粘弹性应变演化方程。
• 采用具有依赖于$x$的$N$-函数的广义Orlicz空间$L_M$，以描述具有空间变化机械与热响应的材料。
• 应用Galerkin方法在有限维子空间中构造近似解。
• 运用单调性与重整化技术，处理涉及应力与应变张量的非线性项的极限过程。
• 利用$L_M$与$L_{M^*}$空间中的模收敛性与弱紧致性，处理非标准增长条件。
• 利用Young测度理论，表征热方程中弱收敛序列乘积项的极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在广义Orlicz空间中，对具有粘弹性增长条件的热-粘弹性模型，建立弱解的存在性？
• RQ2 如何在热力学一致模型中严格纳入具有依赖于$x$的$N$-函数的非均匀材料行为？
• RQ3 在非线性PDE背景下，当$N$-函数增长缺乏一致上下界时，需要何种技术来处理？
• RQ4 在一般增长条件下，如何在极限过程中保持温度与粘弹性应变演化之间的耦合关系？
• RQ5 当标准$L^p$工具失效时，能否利用Young测度表征能量方程中非线性项的收敛性？

主要发现

• 本文证明了在广义Orlicz空间中，具有温度依赖性粘弹性应变演化的一类拟静态热-粘弹性系统弱解的存在性。
• 该存在性结果在$N$-函数无上下界假设的一般增长条件下成立，扩展了以往在Lebesgue空间中的结果。
• 通过$L_M$与$L_{M^*}$空间中的模收敛性，控制了由依赖于$x$的$N$-函数引起的非线性项。
• Young测度的使用确保了热方程中乘积项$\boldsymbol{T}^d : \boldsymbol{G}(\theta, \boldsymbol{T}^d)$的正确极限。
• Galerkin逼近结合重整化与单调性方法，使得非线性系统中极限过程的传递成为可能。
• 该框架通过允许$N$-函数与应力算子$\boldsymbol{D}$依赖于空间变量$x$，实现了对非均匀材料的容纳。