[论文解读] Thermocapillary motion

А. И. Федосов|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2013

Fluid Dynamics and Thin Films被引用 14

一句话总结

本文首次提出了对粘性不可压缩流体中热毛细运动的数学公式化表述，其理论源自A.I. Fedosov于1956年的俄文研究。研究分析了平面容器和球形单滴中的热毛细流动，表明由温度变化引起的表面张力梯度可驱动流体运动，关键成果包括速度场和压力场的解析解，以及在典型条件下得出的液滴速度为 $ u = 2 \times 10^{-4} \, \text{cm/s} $。

ABSTRACT

When the liquid has a free interface and is heated nonuniformly then besides the gravitational convection a different motion appears. This kind of a motion is originated because of a gradient of the surface tension over the liquid interface. It is suggested to call it a thermocapillary motion in analogy with an electrocapillary motion. The present paper develops a theory of thermocapillary motion for two distinct geometries: a liquid layer and a liquid drop suspended in another viscous medium. For both geometries, assuming the non-deformable interfaces, the velocity profiles are found and feasibility of the assumptions made is discussed. To our knowledge, this is a first ether attempt of theoretical consideration of the thermocapillary motion (KM & SB).

研究动机与目标

• 提供热毛细流动的严格数学描述，其驱动力为温度引起的表面张力梯度。
• 分析两种典型构型：开放平面容器中的流动和静止流体中球形单滴的运动。
• 确立理论适用性的关键限制，特别是关于液滴形状稳定性和小温度梯度的条件。
• 证明在薄层或小液滴中，热毛细运动可主导对流运动。
• 重新发现并翻译一篇具有历史意义但长期被忽视的1956年俄文研究，纠正热毛细理论发展的时间线。

提出的方法

• 在笛卡尔坐标系中推导稳态、不可压缩、粘性流动的纳维-斯托克斯方程，在忽略对流和小深度的假设下，简化为两个主导方程。
• 应用边界条件：固体壁面处无滑移（$ v_x(z=h) = 0 $），自由表面处应力连续（$ \partial\sigma/\partial x = -\mu \partial v_x/\partial z \big|_{z=0} $）。
• 在压力梯度由静水平衡决定（$ \partial p / \partial x = \rho g $）的条件下，求解简化后的动量方程 $ \partial p / \partial x = \mu \partial^2 v_x / \partial z^2 $。
• 在球坐标系中采用势流分解方法，求解球形单滴情况下的速度场和压力场，假设具有轴对称性。
• 采用包含常数 $ a_1, a_2, b_1, b_2, b_3 $ 的通解形式，并通过在 $ r = a $（液滴表面）和 $ r \to \infty $ 处的边界条件，确定流动场。
• 推导出液滴速度公式 $ u = \frac{2}{3} \frac{ (d\sigma/dT) |\nabla T| a }{ 2\mu + 3\mu' } $，表明由于 $ d\sigma/dT < 0 $，液滴向温度较高的区域运动。

实验结果

研究问题

• RQ1 在水平温度梯度作用下，平面液层中的热毛细流动的数学公式是什么？
• RQ2 在第二种流体中悬浮的球形单滴中，热毛细运动如何产生？其方向和速度由什么决定？
• RQ3 在何种条件下热毛细流动会主导由浮力驱动的对流？
• RQ4 热毛细流动理论中球形单滴假设的有效性受到哪些限制？
• RQ5 Fedosov（1956）、Landau & Lifshitz（1944）和Young等（1959）在热毛细理论发展上的历史演进有何异同？

主要发现

• 球形单滴的热毛细速度为 $ u = \frac{2}{3} \frac{ (d\sigma/dT) |\nabla T| a }{ 2\mu + 3\mu' } $，典型参数下的数值估计为 $ 2 \times 10^{-4} \, \text{cm/s} $。
• 由于表面张力随温度升高而降低（$ d\sigma/dT < 0 $），液滴从低温区域向高温区域移动。
• 液滴速度与容器中流动速度之比受 $ |u_{\text{drop}} / u_{\text{container}}| < \frac{4}{3} \frac{a}{h} $ 限制，表明在小尺度系统中热毛细运动占主导。
• 当 $ |\nabla T| a \ll 50 \, \text{K} $ 时，该理论成立，该条件在典型液滴尺寸和温度梯度下几乎总能被满足。
• 对于低电导率液滴，热毛细运动的幅度可能超过电毛细运动，具体取决于流体性质。
• 本文确立了Fedosov于1956年的研究早于广泛引用的1959年YGB论文，并首次完整地给出了平面和球形几何中热毛细流动的解析处理。