[论文解读] Thermodynamic form of the equation of motion for perfect fluids of grade n

Henri Gouin|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2010

Aquatic and Environmental Studies参考文献 3被引用 10

一句话总结

本文以统一的热力学形式推导了n级理想流体的运动方程，推广了Serrin对可压缩流体的结果。通过基于内能依赖于熵、密度及其至n−1阶空间梯度的变分原理，建立了首次积分、涡量定理（包括Kelvin型定理），并提出将流动分类为寡热型与正温型，同时自然地将压强、温度和焓等热力学量推广至高阶流体。

ABSTRACT

We propose a thermodynamic form of the equation of motion for perfect fluids of grade n which generalizes the one given by J. Serrin in the case of perfectly compressible fluids. First integrals and circulation theorems are deduced and a classification of the flows is given.

研究动机与目标

• 将流体运动的热力学表述从经典理想流体推广至考虑密度与熵更高阶梯度的n级流体。
• 解决经典模型在捕捉强密度与温度变化（特别是在界面层与燃烧流中）时的局限性。
• 建立统一的变分框架，以导出首次积分、涡量定理，并实现类似于可压缩流体动力学的流动分类。
• 通过一致的变分原理，定义n级流体的广义热力学量——压强、温度与焓。

提出的方法

• 将内能密度 $\varepsilon$ 定义为比熵 $s$、密度 $\rho$ 及其至 $n-1$ 阶空间梯度的函数，从而定义n级流体。
• 应用虚功原理与哈密顿作用量原理，推导拉格朗日量的变分，通过分部积分引入高阶梯度项。
• 利用斯托克斯公式将边界项转化为体积分，从而以热力学一致的形式导出运动方程。
• 引入对偶虚运动以确保与Serrin方法的数学等价性，保持变分原理的结构不变。
• 推导出运动方程的热力学形式 $\mathbf{\Gamma} = \theta \, \mathrm{grad}\, s - \mathrm{grad}(h + \Omega)$，其中 $\theta$、$p$ 与 $h$ 分别为广义温度、压强与焓。
• 基于速度场 $\mathbf{V} = \mathrm{grad}\, \varphi + \psi \, \mathrm{grad}\, s + \tau \, \mathrm{grad}\, \chi$ 的结构，将流体运动分类为寡热型与正温型，并导出相应的守恒律。

实验结果

研究问题

• RQ1 n级理想流体的运动方程如何以热力学一致且通用的形式表达？
• RQ2 从该热力学表述中，首次积分与涡量定理（如Kelvin型定理）如何产生？
• RQ3 流动如何类比可压缩理想流体进行分类？由于高阶梯度的存在，其结构差异为何？
• RQ4 n级流体的广义热力学量——压强、温度与焓——是什么？它们如何从变分原理中推导？

主要发现

• n级理想流体的运动方程以热力学形式 $\mathbf{\Gamma} = \theta \, \mathrm{grad}\, s - \mathrm{grad}(h + \Omega)$ 推导得出，其中 $\theta$ 为广义温度，$p$ 为广义压强，$h$ 为广义焓。
• 沿闭合等熵流线的流速环量保持守恒，将Kelvin定理推广至n级流体，其形式为 $dJ/dt = \int_\mathcal{C} \theta \, ds$。
• 建立了流体运动的分类体系，分为寡热型与正温型，前者由 $\mathbf{V} = \mathrm{grad}\, \varphi + \psi \, \mathrm{grad}\, s$ 描述，后者由 $\mathbf{V} = \mathrm{grad}\, \varphi + \tau \, \mathrm{grad}\, \chi$ 描述，反映了不同的对称结构。
• Crocco-Vazsonyi方程被推广至n级定常流，形式为 $\mathrm{rot}\, \mathbf{V} \times \mathbf{V} = \theta \, \mathrm{grad}\, s - \mathrm{grad}\, \mathcal{H}$，其中 $\mathcal{H} = \frac{1}{2}\mathbf{V}^*\mathbf{V} + h + \Omega$。
• 守恒律与等熵粒子的粒子置换对称性相关联，暗示涡量定理具有诺特定征的解释。
• 该方法为建模具有强密度与温度梯度的界面层（如燃烧流或相变流）提供了自洽的框架。