[论文解读] Thermodynamic formalism and the entropy at infinity of the geodesic flow

Aníbal Velozo|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 36被引用 8

一句话总结

本文通过引入并分析两种无穷远处的熵——拓扑熵与测度熵——将热力学形式系统扩展至非紧致、截面负曲率的流形，证明二者一致，并将其与熵映射的上半连续性联系起来。主要贡献在于为一致连续且强正递归的势函数建立了平衡态的存在性与稳定性，包括对强正递归流形的原始闭测地线定理。

ABSTRACT

In this paper we study the ergodic theory and thermodynamic formalism of the geodesic flow on non-compact pinched negatively curved manifolds. We consider two notions of entropy at infinity, the topological and the measure theoretic entropy at infinity. We prove that both notions coincide and we relate this quantity with the upper semicontinuity of the entropy map. This relationship was already studied in [RV] for geometrically finite manifolds; in this paper we extend such results to arbitrary pinched negatively curved manifolds. We obtain several applications to the existence and stability of equilibrium states. Our approach has the advantage to include certain uniformly continous potentials, a situation that can not be studied through the methods from [PPS]. Of particular importance are potentials that vanish at infinity and those that satisfy a critical gap condition, that is, strongly positive recurrent potentials. We also prove some equidistribution and counting results for closed geodesics (beyond the geometrically finite case). In particular we obtain a version of the prime geodesic theorem for strongly positive recurrent manifolds.

研究动机与目标

• 将热力学形式系统扩展至传统符号动力系统与紧致性方法失效的非紧致、截面负曲率流形。
• 定义并分析两种无穷远处的熵——拓扑熵与测度熵，并证明其等价性。
• 将无穷远处的熵与熵映射的上半连续性联系起来，将几何有限流形的结果推广至任意截面负曲率流形。
• 为一致连续及强正递归势函数建立平衡态的存在性与稳定性，包括在无穷远处趋于零的势函数。
• 证明闭测地线的等分布性与计数结果，包括对强正递归流形的原始闭测地线定理。

提出的方法

• 引入拓扑熵在无穷远处 δ∞ 作为非紧致测地流的关键不变量。
• 利用概率测度的弱*收敛与模糊收敛分析渐近熵行为，并定义无穷远处的熵。
• 通过收敛序列熵的上极限不等式，建立拓扑熵与测度熵在无穷远处的等价性。
• 应用强正递归（SPR）概念，定义一类推广了几何有限流形的流形类。
• 利用离散群的施托克基组合构造具有无限测地线长度重数的 SPR 流形示例。
• 利用 [ST, DOP, RV] 的结果计算施托克基组合的 δ∞，并通过临界指数比较验证 SPR 条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非紧致、截面负曲率流形的测地流中，拓扑熵与测度熵在无穷远处的定义是否一致？
• RQ2 在非紧致情形下，无穷远处的熵如何与熵映射的上半连续性相关联？
• RQ3 在缺乏 Hölder 正则性的情况下，是否能保证一致连续势函数下平衡态的存在？
• RQ4 强正递归在确保平衡态的存在性与稳定性中起什么作用？
• RQ5 闭测地线的计数定理能在多大程度上推广至几何有限流形之外？

主要发现

• 拓扑熵与测度熵在无穷远处一致，且该共同值等于沿模糊收敛序列的熵的上极限。
• 在几何有限情形下，无穷远处的熵 δ∞ 等于抛物子群的临界指数，更一般地，等于所有抛物子群临界指数的最大值。
• 对于强正递归（SPR）流形，最大熵测度存在，且相关系数呈指数衰减，从而推出闭测地线的等分布性。
• 为 SPR 流形建立了原始闭测地线定理，将经典结果推广至几何有限设定之外。
• 本文构造了一个具有无限多条相同长度测地线的 SPR 双曲 3-流形，表明计数结果中要求测地线与紧致集相交是必要的。
• 临界指数 δΓ 满足 δΓ,∞ = max{δΓ₁,∞, δΓ₂,∞} = 1 < δΓ₂ ≤ δΓ，确认所构造的流形 M 为 SPR 流形，具有无限体积且基本群非有限生成。