[论文解读] Thermodynamic interpretation of Wasserstein distance

Andreas Dechant, Yohei Sakurai|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 22被引用 27

一句话总结

本文通过证明扩散过程中最小熵产生（耗散）与初始和最终概率分布之间的L²-Wasserstein距离的平方成正比，建立了Wasserstein距离的直接热力学解释。关键结果是仅以初始和最终状态的均值与协方差矩阵表示的耗散下界，当初始和最终状态为高斯分布时，最优协议由线性力实现。

ABSTRACT

We derive a relation between the dissipation in a stochastic dynamics and the Wasserstein distance. We show that the minimal amount of dissipation required to transform an initial state to a final state during a diffusion process is given by the Wasserstein distance between the two states, divided by the total time of the process. This relation implies a lower bound on the dissipation for any diffusion process in terms of its initial and final state. Using a lower bound on the Wasserstein distance, we further show that we can give a lower bound on the dissipation in terms of only the mean and convariance matrix of the initial and final state. We apply this result to derive the optimal forces that minimize the dissipation for given initial and final mean and covariance.

研究动机与目标

• 建立随机扩散过程中Wasserstein距离的热力学解释。
• 为有限时间扩散过程推导熵产生（耗散）的下界。
• 识别最小化耗散的最优协议。
• 证明当初始和最终状态为高斯分布时，对于给定的均值和协方差，耗散达到最小可能值。
• 在高斯态情况下，提供最优力场的显式解析形式。

提出的方法

• 利用初始和最终概率分布之间的Wasserstein距离，推导熵产生的下界。
• 应用Benamou-Brenier最优传输公式，将随机扩散动力学与无噪声传输路径联系起来。
• 利用高斯分布之间Wasserstein距离的已知下界，将最小耗散表示为均值和协方差矩阵的函数。
• 推导出实现最小耗散的最优力场的显式形式，其为位置和时间的线性函数。
• 证明最优动力学保持高斯性，且均值与协方差矩阵的平方根沿时间线性插值。
• 表明当初始和最终状态均为高斯分布时，最小耗散被实现，即使协方差矩阵不满足交换性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Wasserstein距离能否被解释为随机扩散过程中最小耗散的度量？
• RQ2 仅依赖于初始和最终状态均值与协方差矩阵的熵产生最小下界是什么？
• RQ3 在何种条件下实现最小耗散，对应的最优力场是什么？
• RQ4 最小耗散协议是否可在线性力模型中实现，且是否优于非线性替代方案？
• RQ5 当初始和最终状态为高斯分布时，最优协议能否被显式构造？

主要发现

• 扩散过程的最小熵产生由初始和最终状态之间Wasserstein距离的平方有下界，比例系数为迁移率、温度和总时间。
• 推导出仅依赖于初始和最终状态均值与协方差矩阵的耗散下界，无需依赖最优协议的先验知识。
• 当初始和最终概率分布均为高斯分布时，实现最小耗散，表明对于给定的矩，高斯动力学是最优的。
• 最优力场被显式推导为位置和时间的线性函数，其时间依赖的均值与协方差矩阵的平方根在初始和最终值之间线性插值。
• 当初始和最终协方差矩阵可交换时，最优力场由包含均值与协方差时间导数的闭式表达式给出。
• 结果表明，对于给定的一阶与二阶矩，任何非线性力协议都无法在耗散最小化方面优于线性协议。