[论文解读] Thermodynamic limit for directed polymers and stationary solutions of the Burgers equation

Yuri Bakhtin, Liying Li|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文建立了随机环境中定向聚合物的无限体积吉布斯测度的存在性与唯一性，并证明了其作为热力学极限的收敛性。此外，通过聚合物测度构造了带随机强迫项的黏性伯格斯方程的平稳解，利用相同空间平均的前向吸引子，展示了‘一力一解’原理。

ABSTRACT

The first goal of this paper is to prove multiple asymptotic results for a time-discrete and space-continuous polymer model of a random walk in a random potential. These results include: existence of deterministic free energy density in the infinite volume limit for every fixed asymptotic slope; concentration inequalities for free energy implying a bound on its fluctuation exponent; straightness estimates implying a bound on the transversal fluctuation exponent. The culmination of this program is almost sure existence and uniqueness of polymer measures on one-sided infinite paths with given endpoint and slope, and interpretation of these infinite-volume Gibbs measures as thermodynamic limits. Moreover, we prove that marginals of polymer measures with the same slope and different endpoints are asymptotic to each other. The second goal of the paper is to develop ergodic theory of the Burgers equation with positive viscosity and random kick forcing on the real line without any compactness assumptions. Namely, we prove a One Force -- One Solution principle, using the infinite volume polymer measures to construct a family of stationary global solutions for this system, and proving that each of those solutions is a one-point pullback attractor on the initial conditions with the same spatial average. This provides a natural extension of the same program realized for the inviscid Burgers equation with the help of action minimizers that can be viewed as zero temperature limits of polymer measures.

研究动机与目标

• 建立具有固定渐近斜率的定向聚合物无限体积吉布斯测度的存在性与唯一性。
• 证明集中度与直线性估计，界定自由能与横向波动指数的上界。
• 将‘一力一解’原理推广至带随机强迫项的黏性伯格斯方程，使用聚合物测度作为平稳解。
• 证明具有相同斜率但不同端点的聚合物测度在无限体积极限下渐近等价。
• 在无紧致性假设下，利用随机控制与费曼-卡茨方法，发展实直线上黏性伯格斯方程的遍历理论。

提出的方法

• 使用带随机势的离散时间、连续空间的聚合物模型，推导无限体积极限下的渐近自由能密度。
• 应用集中不等式与大偏差技术，界定自由能波动指数的上界。
• 基于路径局域化与配分函数分析，采用直线性估计，界定横向波动的上界。
• 将无限体积聚合物测度构造为单侧无限路径上有限体积吉布斯测度的几乎必然极限。
• 使用霍普夫-科尔变换，将黏性哈密顿-雅可比-贝尔曼方程与伯格斯方程联系起来。
• 应用费曼-卡茨公式与随机控制理论，表示解并建立遍历性与前向吸引子性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有固定渐近斜率的定向聚合物，无限体积吉布斯测度是否存在？是否唯一？
• RQ2 在热力学极限下，聚合物测度的波动与横向局域化特性为何？
• RQ3 能否通过聚合物测度构造带随机强迫项的黏性伯格斯方程的平稳全局解？
• RQ4 在带随机冲击强迫的黏性伯格斯方程中，是否存在‘一力一解’原理？
• RQ5 在无限体积极限下，具有相同斜率但不同端点的聚合物测度的渐近行为如何？

主要发现

• 对于每个固定的渐近斜率，自由能密度在无限体积极限下以几乎必然收敛于一个确定性极限。
• 自由能波动指数有界，意味着在热力学极限下波动为次扩散。
• 由于直线性估计，横向波动指数有界，表明路径具有局域化特性。
• 对于每个固定的渐近斜率，无限体积聚合物测度以几乎必然存在且唯一，构成热力学极限。
• 具有相同斜率但不同端点的聚合物测度的边缘分布，在路径长度趋于无穷时渐近等价。
• ‘一力一解’原理成立：每个带随机强迫项的黏性伯格斯方程的平稳解，都是具有相同空间平均的初值的单点前向吸引子。