[论文解读] Thermodynamic uncertainty relations

Jos Uffink, J. H. van Lith-van Dis|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 1998

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 13被引用 13

一句话总结

本文通过严格分析量子力学不确定性原理与热力学变量（特别是能量 U 和逆温度 1/T）之间的类比，研究了热力学不确定性关系。结果表明，曼德尔布罗特（Mandelbrot）提出的不确定性关系式 (ΔU)(Δ(1/T)) ≥ k 在数学上与量子不确定性关系同构，但仅在正则系综（系统与热库接触）下成立，因此否定了孤立系统与热库耦合系统之间更广泛的互补性。

ABSTRACT

Bohr and Heisenberg suggested that the thermodynamical quantities of temperature and energy are complementary in the same way as position and momentum in quantum mechanics. Roughly speaking, their idea was that a definite temperature can be attributed to a system only if it is submerged in a heat bath, in which case energy fluctuations are unavoidable. On the other hand, a definite energy can only be assigned to systems in thermal isolation, thus excluding the simultaneous determination of its temperature. Rosenfeld extended this analogy with quantum mechanics and obtained a quantitative uncertainty relation in the form (Delta U) (Delta (1/T)) >= k where k is Boltzmann's constant. The two `extreme' cases of this relation would then characterize this complementarity between isolation (U definite) and contact with a heat bath (T definite). Other formulations of the thermodynamical uncertainty relations were proposed by Mandelbrot (1956, 1989), Lindhard (1986) and Lavenda (1987, 1991). This work, however, has not led to a consensus in the literature. It is shown here that the uncertainty relation for temperature and energy in the version of Mandelbrot is indeed exactly analogous to modern formulations of the quantum mechanical uncertainty relations. However, his relation holds only for the canonical distribution, describing a system in contact with a heat bath. There is, therefore, no complementarity between this situation and a thermally isolated system.

研究动机与目标

• 阐明玻尔、海森堡等人提出的热力学不确定性关系在概念和数学上的基础。
• 解决文献中关于热力学不确定性关系的有效性和适用范围缺乏共识的问题。
• 评估热力学孤立系统（能量确定）与与热库接触的系统（温度确定）之间是否存在由不确定性关系严格支持的互补性。
• 详细考察热力学不确定性关系与量子力学不确定性关系之间的形式类比。
• 确定曼德尔布罗特不确定性关系 (ΔU)(Δ(1/T)) ≥ k 的有效范围，特别是其与统计系综的关系。

提出的方法

• 在正则系综的背景下，分析曼德尔布罗特（1956, 1989）提出的热力学不确定性关系。
• 将曼德尔布罗特的关系式 (ΔU)(Δ(1/T)) ≥ k 与现代量子力学不确定性关系的表述进行比较。
• 应用统计力学原理，评估在假设正则分布的前提下，该不确定性关系的有效性。
• 证明该关系在正则系综中数学上精确成立为等式，但并不意味着与孤立系统之间存在互补性。
• 利用平衡统计力学的形式体系，表明该不确定性关系是正则分布性质的直接结果。
• 通过证明该不确定性关系在不同系综之间不对称，否定了一般性热力学互补性的概念。

实验结果

研究问题

• RQ1 曼德尔布罗特的热力学不确定性关系式 (ΔU)(Δ(1/T)) ≥ k 是否在数学上与量子力学不确定性关系同构？
• RQ2 该不确定性关系是否意味着热力学孤立系统（能量确定）与热接触系统（温度确定）之间存在根本性的互补性？
• RQ3 该不确定性关系的统计系综依赖性如何？它是否在正则系综之外也成立？
• RQ4 尽管已有多种表述，为何文献中对热力学不确定性关系始终缺乏共识？
• RQ5 该不确定性关系能否从正则分布推导得出？其局限性是什么？

主要发现

• 曼德尔布罗特的不确定性关系式 (ΔU)(Δ(1/T)) ≥ k 在数学上与量子力学不确定性关系同构，确认了其形式上的有效性。
• 该关系仅在正则系综中精确成立，此时系统与热库接触，温度定义良好。
• 该不确定性关系并不支持孤立系统（能量确定）与热库耦合系统（温度确定）之间的一般互补性，因为该关系在孤立系统中未被定义。
• 在微正则系综（孤立系统）中不存在相应的不确定性关系，这否定了两种极端之间对称互补性的概念。
• 罗森菲德、林德哈尔和拉文达等人提出的其他表述被证明不一致或不够严谨，是导致共识缺失的原因之一。
• 本文结论认为，该不确定性关系是正则分布的属性，而非普遍的热力学对偶性。