[论文解读] Thermoelastic Response of Fractional-Order Nonlocal and Geometrically Nonlinear Beams

Sai Sidhardh, Sansit Patnaik+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2020

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于热力学一致本构关系和分数阶有限元法（f-FEM）的分数阶非局部热弹性框架，用于欧拉-伯努利梁。结果表明，分数阶模型能够在每个点上严格应用热力学平衡定律，从而实现对热-机械联合载荷下非局部相互作用的精确建模。

ABSTRACT

This study presents both the theoretical framework and the finite element solution to the fractional-order nonlocal thermoelastic response of beams. The constitutive relations of the fractional-order medium are developed based on thermodynamic principles. Remarkably, it is shown that the fractional model allows the rigorous application of thermodynamic balance principles at every point within the domain. The theory is applied to the analysis of the nonlocal response of Euler-Bernoulli beams under combined thermo-mechanical loads. The governing fractional-differential equations and the associated boundary conditions for the elastic field variables are derived using variational principles. The fractional finite element method (f-FEM) is used to numerically solve the linear and nonlinear fractional-order system of equations. Further, the numerical model is used to study the thermoelastic response of the nonlocal beam subject to various thermo-mechanical loads and boundary conditions. The fractional thermoelasticity framework is expected to provide consistent models for nonlocal interactions in complex nonlocal structures exposed to a thermo-mechanical environment.

研究动机与目标

• 开发一种在热-机械载荷下适用于梁结构的热力学一致分数阶非局部模型。
• 解决经典非局部弹性理论在微观尺度上难以严格应用热力学原理的局限性。
• 将分数阶微积分扩展应用于几何非线性系统的非局部热弹性问题。
• 为求解结构力学中的分数阶微分方程提供稳健的数值框架。
• 研究非局部性和几何非线性对梁热弹性响应的影响。

提出的方法

• 基于热力学原理推导分数阶本构关系，确保每个材料点的热力学一致性。
• 应用变分原理推导控制的分数阶微分方程及其相应的边界条件。
• 采用分数阶有限元法（f-FEM）数值求解所得的线性和非线性分数阶系统。
• 将几何非线性引入梁的公式中，以捕捉在联合载荷下的大挠度行为。
• 采用分数阶方程的弱形式，以实现稳定且精确的有限元离散化。
• 通过在不同热-机械载荷和边界条件下进行数值模拟，验证该框架的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持每个点热力学平衡的前提下，一致地将分数阶非局部性整合到热弹性理论中？
• RQ2 分数阶非局部参数对梁的热响应和机械响应有何影响？
• RQ3 几何非线性与非局部效应在梁的热弹性行为中如何相互作用？
• RQ4 f-FEM在多大程度上能准确捕捉分数阶系统中的非局部与非线性响应？
• RQ5 不同的边界条件和载荷构型如何影响非局部热弹性响应？

主要发现

• 分数阶模型能够在域内每个点严格应用热力学平衡原理，克服了经典非局部模型的局限性。
• 推导出的分数阶微分方程能准确描述梁在热-机械联合载荷下的非局部热弹性响应。
• f-FEM求解结果在求解复杂的分数阶系统方程时表现出良好的数值稳定性和收敛性。
• 模型揭示了梁的挠度和应力分布对分数阶参数具有显著敏感性，表明存在强烈的非局部效应。
• 几何非线性放大了非局部性的影响，尤其是在大挠度情况下更为显著。
• 边界条件和载荷类型显著改变了非局部响应，凸显了采用定制化建模方法的必要性。