[论文解读] Theta Blocks

Valery Gritsenko, Nils-Peter Skoruppa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文引入了θ块——雅可比θ函数的乘积除以狄利克雷η函数的幂次——作为一种构建雅可比形式与西格尔模形式的新方法，其在格理论与代数几何中有应用。核心贡献在于刻画了此类θ块何时构成雅可比形式，揭示了其与傅里叶分析、李代数及模空间之间的深刻联系。

ABSTRACT

We define theta blocks as products of Jacobi theta functions divided by powers of the Dedekind eta-function and show that they give a powerful new method to construct Jacobi forms and Siegel modular forms, with applications also in lattice theory and algebraic geometry. One of the central questions is when a theta block defines a Jacobi form. It turns out that this seemingly simple question is connected to various deep problems in different fields ranging from Fourier analysis over infinite-dimensional Lie algebras to the theory of moduli spaces in algebraic geometry. We give several answers to this question.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，利用θ块构造雅可比形式与西格尔模形式。
• 解决一个基本问题：θ块在何种条件下定义为雅可比形式。
• 揭示θ块理论与无限维李代数、模空间等多样化数学领域之间的深层联系。
• 提供θ块模形式性质的多种刻画与判别准则，增强其在数论与代数几何中的适用性。

提出的方法

• 将θ块定义为雅可比θ函数的乘积除以狄利克雷η函数的幂次。
• 通过其在雅可比群作用下的变换行为，分析θ块的模性质。
• 运用傅里叶分析与表示论技术，研究傅里叶系数的消去性。
• 利用无限维李代数的结构，推导θ块模形式性的约束条件。
• 将θ块的模性质与代数几何中的几何不变量联系起来，尤其在阿贝尔簇的模空间中。
• 运用雅可比形式理论，推导θ块为全纯且有限权形式的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，θ块定义为雅可比形式？
• RQ2 θ块如何与无限维李代数的表示理论相联系？
• RQ3 θ块在西格尔模形式的构造中扮演何种角色？
• RQ4 θ块如何与格理论及代数簇模空间的不变量相关联？
• RQ5 θ块成为全纯雅可比形式的充分必要条件是什么？

主要发现

• θ块为构造雅可比形式与西格尔模形式提供了一种强大且系统化的方法。
• θ块的模性质由其指数与系数上的特定算术与解析条件所决定。
• θ块理论揭示了与卡茨-穆迪代数上的傅里叶分析及其特征标之间的意外联系。
• 某些θ块对应于具有指定范数的格向量的生成级数，从而与球体堆积及模不变性相联系。
• 该构造产生了具有非平凡权与指标的新雅可比形式示例，拓展了已知的家族。
• 该框架使得识别经典方法难以触及的模约束成为可能。