[论文解读] Theta constants associated to cubic three folds

Keiji Matsumoto, Tomohide Terasoma|ArXiv.org|Aug 3, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文利用三重覆蓋 P³ 沿著一個立方曲面分支的中間雅可比變量的 (1−ρ)-扭點相關的 theta 常數，建立了具有 27 條直線的立方曲面模空間的 W(E₆)-等變射影嵌入。關鍵結果是，此嵌入源自四維複球面的 theta 常數，與六個一般位置點在 P² 中的模空間的經典射影嵌入完全一致，從而透過 theta 常數明確地提供了週期映射的反向映射。

ABSTRACT

For a cubic surface X, by considering the intermediate Jacobian J(Y) of the triple covering Y of the 3-dimensional projective space branching along X, Allcock, Carlson and Toledo constructed a period map per from the family of marked cubic surfaces to the four dimensional complex ball embedded in the Siegel upper half space of degree 5. We give an expression of the inverse of per in terms of theta constants by constructing an isomorphism between J(Y) and a Prym variety of a cyclic 6-ple covering of the projective line branching at seven points.

研究动机与目标

• 利用 theta 常數，構造具有標記 27 條直線的立方曲面模空間的 W(E₆)-等變射影嵌入。
• 精確建立四維複球面上的 theta 常數與 P² 中六個點模空間的經典坐標之間的對應關係。
• 證明從立方曲面模空間到球面商 Γ\B₄ 的週期映射的逆映射可由這些 theta 常數明確給出。
• 理解 Weyl 群 W(E₆) 對三重覆蓋 P³ 上立方曲面的中間雅可比變量的 (1−ρ)-扭子群的作用。

提出的方法

• 在四維複球面 B₄ 上定義與中間雅可比變量 J(Y) 的 (1−ρ)-扭點子群中元素 v 相關的 theta 常數 Θᵥ(τ)。
• 利用立方曲面上一條直線的 μ₃-覆蓋的普里姆曲面與 J(Y) 之間的同構，將 J(Y) 的週期與虧格 11 曲線的週期關聯起來。
• 利用 W(E₆) 群對 27 條直線的作用，以及 J(Y)₁₋ρ 上的 F₃-向量空間結構，對 80 個非零 theta 常數進行分類。
• 利用 80 個非零 theta 常數的立方構造射影嵌入 Θ: Γ\B₄ → P⁷⁹，該嵌入具有 W(E₆)-等變性質。
• 證明此嵌入與 P² 中六個點模空間 M₆pts 的經典 W(E₆)-等變嵌入 Z 完全一致，透過包含週期映射 φ 的可換圖形建立。
• 利用 F₃⁵ 中的組合恆等式與普利克型關係，推導 theta 常數與 Z-多項式之間的三次關係。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何明確描述從立方曲面模空間到球面商 Γ\B₄ 的週期映射的逆映射？
• RQ2 P² 中六個點模空間的 W(E₆)-等變射影嵌入與球面上的 theta 常數之間的關係為何？
• RQ3 中間雅可比變量的普里姆構造如何與週期映射及 theta 常數相關？
• RQ4 與 (1−ρ)-扭點相關的 theta 常數滿足哪些代數關係？
• RQ5 能否從球面上的 theta 常數恢復 P² 中六個點模空間的經典嵌入？

主要发现

• 使用 80 個非零 theta 常數的立方構造的 Γ\B₄ 的射影嵌入 Θ 是 W(E₆)-等變的，且與 P² 中六個點模空間 M₆pts 的經典嵌入 Z 完全一致。
• 週期映射 φ: M_cs → Γ\B₄ 的逆映射由 theta 常數明確給出，且該映射是到其像的同構。
• 80 個非零 theta 常數與 F₃⁵ 上二次型 q 下的 80 個極大零化向量一一對應，其立方定義了嵌入。
• 週期映射是 proper 且滿射，其單射性表明週期映射為同構，從而確認模空間的均勻化性質。
• 推導出 theta 常數之間的三次關係，包括 ∑_{v∈Ĩ(w)} Θᵥ³ = 0（w ∈ R），以及對 maximal isotropic subspaces V₁, V₂（其交集為一維）的九次恆等式 ∏_{v₁∈S_{V₁}} Θᵥ₁³ = ε̃(S_{V₁},S_{V₂}) ∏_{v₂∈S_{V₂}} Θᵥ₂³。
• 方程組 ∑_{v∈Ĩ(w)} Zᵥ = 0 和 ∏_{v₁∈S_{V₁}} Zᵥ₁ = ε̃(S_{V₁},S_{V₂}) ∏_{v₂∈S_{V₂}} Zᵥ₂ 定義了 P⁷⁹ 中 M₆pts 的閉包。