[论文解读] Theta correspondences for GSp(4)

Wee Teck Gan, Shuichiro Takeda|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 20

一句话总结

本文明确定義了非阿基米德局部域上 GSp(4) 與四維及六維二次型空間相關的正交相似群之間的 θ對應關係。透過利用 L-函數與 L-參數對表示的明確特徵化，本文在 GSp(4) 與 GSO_{4,0}、GSO_{2,2}、GSO_{3,3} 的自守表示之間建立了雙射與單射關係，從而對 GSp(4) 的局部 Langlands 對應中的非極大緊表示提供了完整且清晰的參數化。

ABSTRACT

We explicitly determine the theta correspondences for $\GSp_4$ and orthogonal similitude groups associated to various quadratic spaces of rank $4$ and $6$. The results are needed in our proof of the local Langlands correspondence for $\GSp_4$.

研究动机与目标

• 完成非阿基米德局部域上 GSp(4) 與正交相似群 GSO_{4,0}、GSO_{2,2}、GSO_{3,3} 之間 θ 對應關係的確定。
• 透過明確分類 Kudla-Rallis 理論中未被其結果涵蓋的 GSp(4) 剩餘表示，彌補該理論的缺口。
• 透過 θ 對應關係，使 GSp(4) 的非極大緊表示之局部 Langlands 參數化完全明確且透明。
• 建立 θ 上升像的精確特徵化，以 L-函數、L-參數與表示類型（如離散系列、非離散系列）為基礎。

提出的方法

• 利用與四維及六維二次型相關的 GSp(4) 與正交相似群之間的相似 θ 對應理論。
• 應用同構關係 GSO_{2,2} ≅ (GL_2 × GL_2)/{z, z^{-1}}、GSO_{4,0} ≅ (D^× × D^×)/{z, z^{-1}}、GSO_{3,3} ≅ (GL_4 × GL_1)/{z, z^{-2}}，將表示參數化為張量積形式。
• 應用規範化 Jacquet 濃縮濾子，並透過拋物子群與相似特徵的作用計算誘導表示。
• 使用特徵吸收引理，簡化相似群在等距空間上的作用，將表示約化為標準形式。
• 依賴自守表示的 L-參數與標準 L-因子，以極點與分解方式特徵化 θ 上升的像。
• 應用小 θ 上升與交錯算子理論，推導出對應關係的顯式公式，包含因子交換下的行為。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 GSp(4)(F) 的不可約光滑表示會參與 GSO_{4,0}(F)、GSO_{2,2}(F) 或 GSO_{3,3}(F) 的 θ 對應？
• RQ2 如何透過其至 GSO_{4,0}(F) 與 GSO_{2,2}(F) 的 θ 上升，特徵化 GSp(4)(F) 的非正規、本質上溫和表示？
• RQ3 從 GSO_{3,3}(F) 到 GSp(4)(F) 的 θ 對應的精確像為何？其與相關表示 L-參數的關係為何？
• RQ4 在何種條件下，GSp(4)(F) 的表示 π 會非平凡地上升至 GSO_{4,0}(F) 與 GSO_{3,3}(F)，其小 θ 上升的結構為何？
• RQ5 標準 L-函數與外平方 L-函數的極點如何決定 θ 對應像中表示的性質？

主要发现

• GSO_{4,0} 與 GSp(4) 之間的 θ 對應在 GO_{4,0}(F) 作用下，將 GSO_{4,0}(F) 表示的等價類集合與 GSp(4)(F) 的非正規本質上溫和表示集合之間建立雙射關係。
• 在 θ 對應下，表示 τ₁^D ⊠ τ₂^D（τ₁^D ≠ τ₂^D）的像恰好為非正規極大緊表示。
• 從 GSO_{2,2} 到 GSp(4) 的 θ 對應為單射，其像由標準 L-函數在 s=0 處有極點的正規離散系列表示，以及某些非離散系列表示組成。
• GL_2(F) 上的離散系列表示 τ₁ ⊠ τ₂（τ₁ ≠ τ₂）被精確映射至 GSp(4)(F) 上標準 L-函數 L(s,π,std) 在 s=0 處有極點的正規離散系列表示。
• 從 GSp(4) 到 GSO_{3,3} 的 θ 對應為單射，其像包含正規離散系列表示 π，使得 L(s,⋀²φ_Π ⊗ μ^{-1}) 在 s=0 處有極點，其中 φ_Π 為 Π 的 L-參數。
• 表 1 中的非離散系列表示 NDS(a) 被映射至 GL_4(F) × GL_1(F) 的表示 Π ⊠ μ，其中 φ_Π = ρ ⊕ ρ·χ，μ = detρ·χ，ρ 為不可約二維表示，且 χ ≠ 1。